高中数学人教版新课标A选修2-32.3离散型随机变量的均值与方差教学设计

第 五 次课  2学时

  本次教学重点：

离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布

  本次教学难点：

随机变量的分布函数 

本次教学内容：

第二章 随机变量及其分布函数

第一节                  随机变量的直观意义与定义

一、随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.

1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有

P(ξ=k)=    q=1-p        

并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n

2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.

例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定

若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）；

若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。

为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。

一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系

在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。

在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系

二、随机变量的定义

定义  设是一概率空间，对于是一个取实值得函数；若对于任一实数是一随机事件，亦即，则称为随机变量.

为书写方便，简写为，事件记为

通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量

随机变量与高等数学中函数的比较:

(1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，所以ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。但随机变量在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;

(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.

例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2……

例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为。

例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值为  。

例4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。

三．随机变量的分类

从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。

从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，

（一）一维随机变量及分布列

1．定义

定义2：定义在样本空间上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。

讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。

例5：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量,的可能取值为0，1，2。

习惯上，把它们写成

2、分布律

    如果离散型随机变可能取值为 相应的取值的概率 称

为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。

    也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：

或                 

例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令 =5次试验中事件A出现的次数。则

  k=0,1,2,3,4,5

于是的分布列为

3、分布列的性质

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列  都具有下述性质：

非负性：1）

规范性：2）

    反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。

分布列不仅明确地给出了的概率，而且对于任意的实数a<b,事件{}发生的概率均可由分布列算出，因为{}

于是由概率的可列可加性有 P{}  , 其中

由此可知，取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面地描述离散型随机变量。

例7：设随机变量的分布列为：,求常数c的值。

    解：

    由分布列的性质即  

例8：一个口袋中有n只球，其中m只白球，无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为止，设此时取出了个白球，求的分布列。

解：的可能取值为0，1，2，3……m

注意：表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球，

4、几种常用分布

1）、    退化分布

设的分布列为P(=a)=1 (a为常数)，则称服从退化分布；

2）、    两点分布

设的分布列为

称 服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。

3）.二项分布

 a.设随机变量的分布列为[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

        P(ξ=k)=    q=1-p        k=0.1.2…n

显然   1）            k=0.1.2….n

2)  

称随机变量服从二项分布认为～b(k;n，p)

大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形。

b.二项分布的分布形态

由此可知，二项分布的分布

先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得

易得：

例9 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？

解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令

则由题意

则可能命中次数是132,  概率为：

4）.几何分布

    在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，

设试验进行到第次才出现成功。的分布列为

                                    k=1.2…

（k=1.2…）是几何级数的一般项。因此称它为几何分布记为～g(k;p)。

几何分布的特性---无记忆性

所谓无记忆性，是指几何分布对过去的m次“失败”信息在后面的计算中被遗忘了

5）.普哇松（Poisson）分布

    观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数等。可用相应的变量表示，实践表明 的统计规律近似地为

        k=0.1.2…

其中>0是某个常数，易验证

1）P（）>0      k=0.1.2…

2）==1

也就是说，若的分布列为      k=0.1.2…（>0）

称服从参数为的普哇松（Poisson）分布，记为～p(k; )

在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。

下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系

Th2.1（Poisson定理）在n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关）。若当时（>0常数）。则有

          k=0.1.2…

这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)=，当n和k都比较大时。计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b(k;n,p) 其中，而要计算用的Poisson分布表可查。

例10.已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？

解：设该单位患这种疾病的人数为 .则  ～

其中b(k;5000,1/1000)=

这时如果直接计算计算量较大。由于n很大。P较小。而np=5不很大。可以利用Poisson定理

查Poisson分布表得

于是

例11．由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件

则当时就不会脱销。因而按题意要求为

又

查Poisson分布表得    

于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。 

二、分布函数及其基本性质

我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这当然有很大的局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地的气温”，“某型号显象管的寿命”“某省高考体检时每个考生的身高、体重”等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的（也就不会只取有限个或可列个值），对于这样的随机变量，如何描述它们的统计规律呢？

我们首先引入分布函数的概念。

（一）、分布函数的概念

1、定义：设为一随机变量，令

称是随机变量的概率分布函数，简称为分布函数或分布。

分布函数实质上就是事件的概率。

2、分布函数的性质

   由概率的性质可知：

1）非负性：

2）单调性： 若则

3）若 

   进一步

4）极限性：

证：因为，所以

都存在，又由概率的完全可加性有

所以必有

即 

5）左连续性：

证：因为是单调有界函数，其任一点的左极限必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列

证明：成立即可。这时，有

由此可得

2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。

知道了随机变量的分布函数，不仅掌握了的概率，而且还可以计算下述概率：

由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由算出来，因此全面地描述了随机变量的统计规律。既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。不过，对离散型随机变量来说，用的较多的还是分布列，那是因为它比较方便的缘故。

三、离散型随机变量的分布函数

设为一个离散型随机变量，它的分布列为

则的分布函数为

对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。

例1若服从退化分布，即有，则的分布函数为

例2若服从两点分布

求的分布函数F（x）。

解：  当

当时，

当时，

例3 设的分布列为

求的分布函数。

解：  当

当时，

      当时，

当

于是

可以看到，是一阶梯状的左连续函数，在处有跳跃，其跃度为在处的概率。

例4、设是参数为的普哇松分布的随机变量，即

求的分布函数。

解：

由此，是一阶梯状的左连续函数，在处有跳跃，其跃度为在处的概率。

例5、等可能的向区间上投掷质点，求质点坐标的分布函数。

解：设为任一实数，当时，显然有

当时，由几何概型可知[来源:www.shulihua.net]

当

从而

例6、设随机变量的分布函数为

求1）常数；2）。

解：1）由极限性  得 从而解

于是

2）

例6．设随机变量的分布函数为

， 

求：1）常数A；2）落在[-1，1/2]上的概率。

解：1）左连续

，

故

于是

2）

由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。

作业布置：P165 T1，5

第 六 次 课 2学时

本次教学重点：

连续型随机变量及其密度函数函数的分布，连续型随机变量常见的几种分布，

  本次教学难点：

已知密度函数求随机变量的分布函数 

本次教学内容：

第二章 随机变量及其分布

第一节              随机变量的直观意义与定义

（三）、连续型随机变量及其密度函数

1、定义

定义  如果对随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意实数有

则称为连续型随机变量, 称为的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.

2、密度函数的性质

由分布函数的性质，可验证任一连续型随机变量的密度函数必具备下列性质：

1).非负性：

2).规范性：

反之，如果一个函数具有上述性质，那么该函数一定可以作为某连续型随机变量的密度函数.

密度函数除了具有上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：

3）连续型随机变量的分布函数在R上连续，且在的连续点处，有。对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连

续型随机变量的分布规律。

4）设为连续型随机变量，则对任意实数，有

这表明连续型随机变量取单点值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出并不意味着是不可能事件。

5）对任意，则

[来源:www.shulihua.net]

这一个结果从几何上来讲，落在区间中的概率恰好等于在区间上曲线形成的曲边梯形的面积。同时也可以发现，整个曲线与轴所围成的图形面积为1。

例1设随机变量的密度函数为  

试求1）常数；2) 的分布函数；3）。

解：1）由密度函数的性质可知    即 

于是密度函数为     

2）

3）

例2：设随机变量的密度函数为     

试求1）常数；2）分布函数；3）。

解：1）由密度函数的性质

于是 

2）当 

当  

于是     

3）

例3设连续型随机变量的分布函数为

，

求它的密度函数。

解：因为

所以

二、几种常用分布

1、均匀分布

设随机变量的密度函数为

则称服从区间上的均匀分布，记作~U。

向区间上均匀投点，则随机点的坐标服从上的均匀分布。在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近似计算中的舍入误差等。

设随机变量~U，则对任意满足，则有

这表明，落在内任一小区间上取值的概率与该小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义，实际上均匀分布描述了几何概型的随机试验。

2、指数分布

我们下面以“母鸡下蛋”问题为例来说明许多“等待时间”是服从指数分布的。

在单位时间内母鸡下蛋数可以用普哇松分布来描述，即

并且还知道其中的参数为单位时间内下蛋数的平均值。如果现在考察的不是单位时间，而是，那么这个平均值应该与时间成正比，也就是，又因为普哇松分布具有可加性，所以在这段时间内，下蛋数应该服从

这是一个参数为的普哇松分布。

设母鸡在任意的的时间间隔内下蛋个数服从

问两次下蛋之间的“等待时间”服从怎样的分布函数？

解：设前一次下蛋时刻为0，因为不可能为负，所以当时，显然有

而当时，因为在等待时间内不下蛋

所以有   

还因为

由概率的下连续性即得

从而描述的分布函数为

若随机变量的密度函数为

则称服从参数为的指数分布，记作。

指数分布是一种应用广泛的连续型分布。我们已经看到，许多“等待时间”是服从这个分布的，一些没有明显“衰老”机理的元器件（如半导体元件）的寿命也可以用指数分布来描述，所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域有着广泛的应用。

电话问题中的通话时间可以认为服从指数分布。

例4、假定打一次电话所用的时间（单位：分）服从参数的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率。

解：由题设知，故所求概率为

1）

2）

3、正态分布

若随机变量的密度函数为

称服从参数为的正态分布，记为。

正态分布是概率论中最重要的一个分布，高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差，所以在很多著作中也称为高斯分布。经验表明许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，其理论依据是第五章中的定理5.4.3。

正态分布的密度曲线呈倒钟形，称为位置参数，称为形状参数。

由数学分析知识可知

从而

当时，正态分布称为标准正态分布，其密度函数为

分布函数

对于可以查正态分布表。

设即。

一般地设，则。

从而，若，  则

例5、设求1）；2）；3）

解：

例6、设，求。

解：

这个概率与无关。可以认为，Y 的取值几乎全部集中在                区间内

这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）一般地

4、—分布

设随机变量的密度函数为

为两个常数，其中， ，称服从参数为的—分布。

特别的当时，随机变量的密度函数为

称服从自由度为的—分布，记作~。这是数理统计中的一个重要分布。特别地，当时，就为参数为的指数分布。

在概率论中引入随机变量和分布函数这两个概念，就好象在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁，数学分析这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来。由此可以体会到随机变量和分布函数这两个概念的地位及作用。

作业布置：P166 T4，20

第 七 次课  3学时

  本次教学重点：

二维分布函数及其性质

  本次教学难点：

求连续型随机变量的边缘分布

本次课教学内容：

第二节 多维随机变量及其分布函数

一、       二维分布函数及其性质

定义1  设是定义在同一个概率空上的两个随机变量，则称为二维随机变量或二维随机向量.

一般地，我们称n个随机变量的整体为n维随机变量或随机向量. 

定义2: 设为二维随机变量，对任意实数x,y，二元函数

称为随机变量的分布函数或称随机变量和的联合分布函数

注：                         就是随机变量(X,Y)落入区域:                   的概率

由概率的加法，可得随机点(X,Y)落入矩形区域:                        的概率为

联合分布函数的性质:

（1） 且

对任意固定的

对任意固定的

(2) 关于和均为单调非减函数, 即

对任意固定的 当

对任意固定的 当

(3) 关于和均为左连续, 即

（4）对任意四个实数，有

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

例1、              设的联合分布函数为

求：1）常数；2）边际分布函数。

解：1）由

解得

2）

 二维离散型随机变量及其概率分布

1、     定义

定义3 若二维随机变量只取有限个或可数个值, 则称为二维离散型随机变量.

    结论：为二维离散型随机变量当且仅当均为离散型随机变量.

定义4设是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为，i,j=1,2… 

        i,j=1，2…,          （4.1）

注意   =。

称 （4.1）为二维随机变量的联合分布列。

与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示

2. 联合分布的性质

容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：

1）非负性：           i,j=1,2…

 2）规范性：           

3)        

3．边际分布（边缘分布）

设为二维离散型随机变量，它们的每一个分量的分布称为关于的边际分布，记为       与    。

若的联合分布为    i,j…   ，则

关于的边沿概率分布（分布律）为

关于Y 的边沿概率分布（分布律）为

由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。

例2.        设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为，落入第2号盒子中球的个数为，求的联合分布列及的边际分布列。

解：的可能取值为0.1.2.3（首先确定的所有可能取值（ i,j））然后利用ch1知识计算概率。

当i+j>3时=

所以（）的联合分布列

例3.        把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒子中的白球个数为，落入第2号盒子中的红球的个数为，求（）的联合分布列和边际分布列。

解：（）的可能取值为（i,j=0.1.2.3）显然有

  ,     i=0.1.2.3

比较例1和例2可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。

二维连续型随机变量及其密度函数

1、定义

定义1 ：设为一个二维随机变量，为其联合分布函数，若存在函数，使对任意的，有

则称为二维连续型随机变量，为一个连续型的联合分布函数，为的联合概率密度函数或简称为密度。

2、联合密度函数的性质

由联合分布函数的性质，有

1）非负性：；

2）规范性：；

反过来，具有上述两个性质的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数。

3）若在点连续，是相应的分布函数，则有

4)若是平面上的某一区域，则

这表明取值落在平面上任一区域内的概率，可以通过密度函数在上的二重积分求得。

3、边缘密度函数

设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则的边际分布函数为。

这表明也是连续型随机变量，其边际密度函数为

类似地

由此可以看出，边际密度由联合密度唯一确定。

例4 设的联合密度函数为

求：1）常数；

   2）分布函数；

   3）边际密度函数及相应的边际密度；

4）。

解：1）由联合密度的性质

解得=4，于是

2）             

3）             

4）

4、两种常用分布

1）     均匀分布

设是平面上的一个有界区域，其面积为，令

则是一个密度函数，以为密度函数的二维联合分布称为区域上的均匀分布。若服从区域上的均匀分布，则中的任一（有面积）的子区域，有

其中是D的面积。

上式表明二维随机变量落入区域内的概率与的面积成正比，而与其在中

的位置与形状无关，这正是第一章中提过的在平面区域中等可能投点试验，

由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。特别的若服从上的均匀分布，其联合密度函数为

相应的边际密度

由此说明，矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布。

2）二维正态分布

设二维随机变量的联合密度函数为

则称服从二维正态分布，记为，

其中为参数。

习惯上称为二维正态变量，由的联合分布可以求得边际密度函数分别为

由此说明二维正态分布的两个边际分布都是一维正态分布，分别为，如果，则这两个二维正态分布是不相同的。

但由上面可以知道它们有完全相同的边际分布，由此例也说明了边际分布不能唯一地确定它们的联合分布，此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布。

例5、设的联合密度函数为

，

求边际密度函数。

解：

同理

即都是标准正态分布的随机变量，但却不是二维正态变量。

作业布置：P15（1），18

第 八 次课  3学时

  本次教学重点：

相互独立随机变量的性质，随机变量函数的分布

  本次教学难点：

卷积公式，随机变量函数的分布

本次课教学内容：

第三节 相互独立随机变量

定义1、设的联合分布函数为的边际分布函数为，若对任意的有  成立，则称随机变量是相互独立的。

对离散型随机变量：设随机变量  的可能取值为 , 的可能取值为，易验证：随机变量 与相互独立如果对任意的有：  

     两个随机变量  与 相互独立，也就意味 与的取值之间互不影响，随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。

设 是n个离散型随机变量，  的可能取值为 ， ，   如果对任意的一组，  恒有

成立

则称是相互独立的。

例1：在n重贝努里试验中，令

则 的可能取值为1或0，对  或 0 （）

容易验证有成立，

所以  是相互独立的随机变量。

     由随机变量独立性的定义，要证明两个随机变量是相互独立的，则要证明对() 的所有取值，都有 。   

若其中有一对值不满足这个条件，则 与不独立。

对连续型随机变量：如果是二维连续型随机变量，则都是连续型随机变量，它们的密度函数分别为，这时容易验证：

与相互独立。

由此可知，要判断连续型随机变量是否独立，只需要验证是否为的联合密度函数。

例2、设服从上的均匀分布。试问它们是否相互独立？若为矩形区域呢？

解：的联合密度函数为

所以不相互独立。

例3若，则相互独立。

随机变量的独立性还可以推广到多个随机变量的情形。

定义2、设维随机变量的联合分布函数为，

为它们的边际分布函数，若，有

则称是相互独立的随机变量。

若为维连续型随机变量，则相互独立的充要条件为其中的联合密度函数，的边际密度函数。

第四节 随机变量的函数及其分布

在概率统计问题中，常需要考虑随机变量函数或其变换。特别在数理统计中更为重要。

例:由统计物理知道：气体分子运动速度的绝对值服从马克斯威尔分布，其密度函数为

求分子运动动能所服从的分布（m表示分子的质量）

一、       离散型随机变量函数的分布

一维随机变量函数的分布列

      设g(x)是定义在随机变量的一切可能取值a的集合上的函数，这样随机变量，当 取值a时，它取值 y=g(a) 称为随机变量的函数，记为=g()

设为离散型随机变量，则= g()也为离散型随机变量。

若的分布列为 ，现求 =f() 的分布列。

1.若随机变量  取不同的值时，随机变量函数=g() 也取不同的值    i=1.2.…。则的分布列为。

例1：设  的分布列为

求 =2+1 的分布列。

解：的可能取值为1,3,5,7,9,11, 它们互不相同，

则  的分布列为

2、若 取不同的时，而函数的取值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到 的分布列。

 例2：设的分布列为

求 =(-2）2 的分布列。

解：  的可能取值为0，1，4，9   它们有相同的。

则  的分布列为

二维离散型随机变量函数的分布列

   设是一个二维离散型变量，f(x,y,)是实变量 x和y的单值函数，这时 仍是一个离散型随机变量。

设 的可能取值为：

令  (ｉ,j,k=1.2.…)

则有＝

例3：设个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和  的Poisson分布求 的分布列。

解：由  与   的独立性可知

　　　　　　＝

　　　　　　＝

　　　　　　＝　　　ｋ＝０.１.２…

此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性。

类似地可以证明二项分布也是一个可加性分布，即若 ，是两个独立的随机变量，且，则。

例4：设 为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：

　　　　　ｎ＝１.２.…

求  的分布列

解：

＝　　ｋ＝２.３…

二、连续型随机变量函数分布

一个随机变量函数的分布

定理2.4.1 设为连续型随机变量，为其密度函数，又严格单调，其反函数具有连续导数，则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为

其中

证明：略

例5 设。

证：为严格单调函数，且反函数

一般地，若，则也服从正态分布。

定理2.4.1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数严格单调且反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上这个条件可以减弱为“逐段单调，反函数连续可微”。这时，密度公式应作相应的修改。一般地，我们都是先求其分布函数，然后再求其密度函数。

例6 设试求的密度函数。[来源:www.shulihua.net]

解：当时，显然有

当

上述密度函数为分布的密度函数

在时的特例，也就是说变量的平方是自由度为1的变量。

两个随机变量函数的分布

若而的联合密度函数为，则同上面一样讨论可得到

1、     和的分布

若而的联合密度函数为，则

当与相互独立时，有， 

因此的密度函数为

也可写为

由上式给出的运算称为卷积，通常记为。

例7、设与相互独立且都服从，证明

证：由卷积公式

故

一般说，若是个相互独立的服从分布的随机变量，则仍然是一个服从正态分布的随机变量，并且参数，这个事实有时也称为正态分布具有可加性。

在前面已经证明了普阿松分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还有其它一些分布，如分布也具有可加性，即若

（大家自己证明），由此可知，分布对它的第一个参数具有可加性。由于为参数为n的分布，因此分布也具有可加性。

如果是个相互独立的随机变量，每一个都服从，由例2可知每一个都服从分布，且仍然相互独立，这时由分布的可加性并利用归纳法可知是服从自由度为的分布，即个相互独立的的平方和是一个参数为的分布，习惯上独立变量的个数称为“自由度”。

2、     商的分布

设是二维连续型随机变量，密度函数为，现在来讨论的分布。

于是密度函数为

例8、设与相互独立，分别服从自由度为及的分布的随机变量，试求的密度函数。

解： 的密度函数为

的密度函数为

于是的密度函数为

上式的密度函数的分布称为参数为的-分布，记作。它是数理统计中最常用的分布之一。

在上例中，已知相互独立，在计算中用到的却是相互独立，当然由相互独立很快可以推出相互独立。

引理2.4.1、若随机变量与相互独立，又是两个连续或逐段连续的函数，则与相互独立。

例5、设相互独立，求的密度函数。

解：

这个密度函数称为自由度为的-分布。

作业布置：

P165 T2,3,21,25(1)(6)

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