初中数学北师大版八年级下册4 一元一次不等式精练

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组重难点提升卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）（2020春•中原区校级月考）下列式子：

①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，

其中不等式有（　　）个

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据不等式定义可得答案．

【详解】解：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1是不等式，共5个，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．

2．（3分）（2020春•瑶海区校级月考）若a＞b，则下列各式不成立的是（　　）

A．2a＞a+b B．1﹣a＜1﹣b C．a2＞b2 D．2a+1＞2b﹣3

【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．

【详解】解：∵a＞b，

∴2a＞a+b，

∴选项A不符合题意；

∵a＞b，

∴﹣a＜﹣b，

∴1﹣a＜1﹣b，

∴选项B不符合题意；

∵a＞b，但是a2＞b2不一定成立，

∴例如：a＝2，b＝﹣4时，a＞b，但是a2＞b2不成立，

∴选项C不符合题意；

∵a＞b，

∴2a＞2b，

∴2a+1＞2b﹣3，

∴选项D不符合题意．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．

3．（3分）（2020春•嘉祥县期末）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．

【详解】解：由题意，得

x≤2，

故选：C．

【点睛】本题考查了不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画；在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

4．（3分）（2020春•岳西县期末）要使代数式的值不大于1，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞5 B．m＞﹣5 C．m≥5 D．m≥﹣5

【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可．

【详解】解：根据题意得：1，

解得：m≥﹣5，

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据题意列出不等式是解此题的关键．

5．（3分）（2020春•高新区校级期中）我们定义ad﹣bc，例如：2×5﹣3×4＝﹣2，若x满足﹣22，则x的整数解有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【分析】根据定义得到关于x的不等式组，从而求得x的范围．

【详解】解：4x﹣6，

根据题意得：，

解得：1≤x＜2．

∴x的整数解是1，

故选：B．

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．

6．（3分）（2020春•舞钢市期中）已知关于x的不等式组：的解集是﹣3＜x＜2，则a+b的值为（　　）

A．﹣3 B．2 C．0 D．﹣6

【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出a与b的值，代入计算即可求出a+b的值．

【详解】解：不等式组整理得：，

解得：2b+3＜x，

由已知解集为﹣3＜x＜2，得到2b+3＝﹣3，2，

解得：a＝﹣3，b＝﹣3，

则a+b＝﹣6．

故选：D．

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

7．（3分）（2020秋•兴化市期末）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为（　　）

A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜﹣3 C．﹣3＜x＜0 D．x＞0

【分析】利用函数图象，写出在x轴下方且函数y1＝k1x的函数值小于函数y2＝k2x+b的函数值对应的自变量的范围即可．

【解答】解：当x＞﹣6时，y2＝k2x+b＜0；当x＜﹣3时，y1＜y2，

所以不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣3．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

8．（3分）（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）

A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4

【分析】先解不等式得出x，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出23，解之可得答案．

【详解】解：∵3x+a≤2，

∴3x≤2﹣a，

则x，

∵不等式只有2个正整数解，

∴不等式的正整数解为1、2，

则23，

解得：﹣7＜a≤﹣4，

故选：D．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．

9．（3分）（2020春•丛台区校级期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　）

A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人

【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x﹣1），且6（x﹣1）+3＞5x+7，分别求出即可．

【详解】解：假设共有学生x人，根据题意得出：，

解得：10＜x≤13．

因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12．

观察选项，选项C符合题意．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．

10．（3分）（2020春•江都区期末）已知x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，则关于x的不等式k（x﹣3）+2b＞0的解集是（　　）

A．x＞11 B．x＜11 C．x＞7 D．x＜7

【分析】将x＝4代入方程，求出b＝﹣4k＞0，求出k＜0，把b＝﹣4k代入不等式，再求出不等式的解集即可．

【详解】解：∵x＝4是关于x的方程kx+b＝0（k≠0，b＞0）的解，

∴4k+b＝0，

即b＝﹣4k＞0，

∴k＜0，

∵k（x﹣3）+2b＞0，

∴kx﹣3k﹣8k＞0，

∴kx＞11k，

∴x＜11，

故选：B．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程的解，能求出b＝﹣4k和k＜0是解此题的关键．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）（2020春•椒江区期末）已知a+b＝4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是　5≤a≤6　．

【分析】根据已知条件可以求得b＝4﹣a，然后将b的值代入不等式﹣2≤b≤﹣1，通过解该不等式即可求得a的取值范围．

【详解】解：由a+b＝4得b＝4﹣a，

∵﹣2≤b≤﹣1，

∴﹣2≤4﹣a≤﹣1，

∴5≤a≤6．

故答案为：5≤a≤6．

【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

12．（3分）（2020春•文登区期末）某品牌电脑，成本价3000元，售价4125元，现打折销售，要使利润率不低于10%，最低可以打　八　折．

【分析】设打x折，由题意得不等关系：售价×打折﹣进价≥进价×利润率，根据不等关系列出不等式，再解即可．

【详解】解：设打x折，由题意得：

41253000≥3000×10%，

解得：x≥8，

故答案为：八．

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，设出未知数，列出不等式．

13．（3分）（2020春•曹县期末）不等式组无解，则m的取值范围是　m≤2　．

【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．

【详解】解：不等式组整理得：，

由不等式组无解，得到4m≤8，

解得：m≤2，

则m的取值范围是m≤2．

故答案为：m≤2．

【点睛】此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．

14．（3分）（2020春•瑶海区校级月考）运算符号⊗的含义是a⊗b，则（1+x）⊗（1﹣2x）＝5时x的值为　4或﹣2　．

【分析】根据题意，分别讨论，列出x的方程求解即可．

【详解】解：当1+x≥1﹣2x时，即x≥0，

此时1+x＝5，

解得x＝4；

当1+x＜1﹣2x时，即x＜0，

此时1﹣2x＝5，

解得x＝﹣2．

故答案为：4或﹣2．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式集解一元一次方程的知识，属于新定义题型，读懂题意是解题关键．

15．（3分）（2020秋•大渡口区月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为　7　．

【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．

【详解】解：解方程组得：，

∵关于x、y的二元一次方程组的的解满足x＞y，

∴2a+1＞a﹣2，

解得：a＞﹣3，

，

∵解不等式①得：x＜a，

解不等式②得：x，

又∵关于x的不等式组 无解，

∴a，

解得：a≤4，

即﹣3＜a≤4，

∴所有符合条件的整数a的个数为7个（﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，共7个），

故答案是：7．

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．

16．（3分）（2020春•昌黎县期末）按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为　2≤x＜5　．

【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于14，第二次运算结果大于等于14列出不等式组，然后求解即可．

【详解】解：由题意得，，

解不等式①得，x＜5，

解不等式②得，x≥2，

∴2≤x＜5，

故答案为：2≤x＜5．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．

三．解答题（共6小题，满分52分）

17．（8分）（2020春•邓州市期末）（1）解不等式3x+5＜7（x﹣1）+3，并写出满足此不等式的最小整数解．

（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，求出解集，确定出最小整数解即可；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【详解】解：（1）去括号得：3x+5＜7x﹣7+3，

移项得：3x﹣7x＜﹣7+3﹣5，

合并得：﹣4x＜﹣9，

解得：x，

则不等式组的最小整数解为3；

（2），

由①得：x≥﹣1，

由②得：x＜4，

∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4．

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

18．（8分）（2020春•海陵区校级期末）已知关于x的不等式组．

（1）如果这个不等式组无解，求k的取值范围；

（2）如果这个不等式组有解，求k的取值范围；

（3）如果这个不等式组恰好有2017个整数解，求k的取值范围．

【分析】（1）根据不等式组无解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；

（2）根据不等式组有解即可得到关于k的不等式，即可求得k的范围；

（3）首先根据不等式恰好有2013个整数解求出不等式组的解集为﹣1＜x＜2017，再确定2016≤1﹣k＜2017，然后解不等式即可．

【详解】解：（1）根据题意得：﹣1≥1﹣k，

解得：k≥2．

（2）根据题意得：﹣1＜1﹣k，

解得：k＜2．

（3）∵不等式恰好有2017个整数解，

∴﹣1＜x＜2017，

∴2016≤1﹣k＜2017，

解得：﹣2016＜k≤﹣2015．

【点睛】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

19．（8分）（2020春•荔城区校级月考）已知关于x、y的方程组．

（1）若此方程组的解是二元一次方程2x+3y＝16的一组解，求m的值；

（2）若此方程组的解满足不等式x+3y＞6，求m的取值范围．

【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；

（2）根据不等式的解法解答即可．

【详解】解：（1），

①﹣②得：3y＝﹣6m，

解得：y＝﹣2m，

①+②×2得：3x＝21m，

解得：x＝7m，

将x＝7m，y＝﹣2m代入2x+3y＝16得：14m﹣6m＝16，

解得m＝2；

（2）由（1）知：x＝7m，y＝﹣2m，

代入x+3y＞6，得（﹣6m）＞6，

∴m．

【点睛】此题考查解一元一次不等式问题，关键是根据一元一次不等式的解法解答．

20．（8分）（2020春•万州区期末）阅读下列材料解答问题：

新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果nx＜n，

则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则nx＜n．例如：

＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…

试解决下列问题：

（1）①＜π+2.4＞＝　6　（π为圆周率）；

②如果＜x﹣1＞＝2，则数x的取值范围为　2.5≤x＜3.5　；

（2）求出满足＜xx﹣1的x的取值范围．

【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值；

②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；

（2）利用＜xx﹣1，设x＝k，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．

【详解】解：（1）由题意可得：＜π+2.4＞＝6；

故答案为：6，

②∵＜x﹣1＞＝2，

∴1.5≤x﹣1＜2.5，

∴2.5≤x＜3.5；

故答案为：2.5≤x＜3.5；

（2）∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，

则xk，

∴k＞＝k﹣1，

∴k﹣1k＜k﹣1，k≥0，

∴k，

∴k＝3，4，5，6，7，

则x，，4，，．

【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．

21．（10分）（2020秋•大洼区月考）某地新建的一个企业，每月将产生2020吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元；售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述A、B两种型号污水处理器共9台，那么．

①该企业有几种购买方案？

②哪种方案费用最低？最低费用是多少？

【分析】（1）设每台A型污水处理器x万元，每台B型污水处理器y万元，根据“商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元；售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）①设购买A型污水处理器m台，则购买B型污水处理器（9﹣m）台，根据每个月至少处理污水2020吨，即可得出关于m的一元一次不等式，结合m为整数且m≤9，即可得出各购买方案；

②根据总价＝单价×数量，可分别求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．

【详解】解：（1）设每台A型污水处理器x万元，每台B型污水处理器y万元，

依题意，得：，

解得：．

答：每台A型污水处理器10万元、每台B型污水处理器8万元．

（2）①设购买A型污水处理器m台，则购买B型污水处理器（9﹣m）台，

依题意，得：240m+180（9﹣m）≥2020，

解得：m≥6，

∵m为整数且m≤9，

∴m可以为7，8，9，

∴共有3种购买方案，方案1：购进A型污水处理器7台，B型污水处理器2台；方案2：购进A型污水处理器8台，B型污水处理器1台；方案3：购进A型污水处理器9台．

②方案1所需费用为10×7+8×2＝86（万元）；

方案2所需费用为10×8+8×1＝88（万元）；

方案3所需费用为10×9＝90（万元）．

∵86＜88＜90，

∴方案1购进A型污水处理器7台，B型污水处理器2台费用最低，最低费用为86万元．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②利用总价＝单价×数量，分别求出各购买方案所需费用．

22．（10分）（2020春•牡丹江期末）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．

请解答下列问题：

（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）

（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案；

（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．

【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答；

（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；

（3）先假设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意：利润＝售价﹣进价，赠送的书包也要算在进价里面，则可列出方程，求出m的值即可．

【详解】解：（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元．

根据题意得．

解得．

答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；

（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，

根据题意可得50m+40（200﹣m）≤8900．

解得m≤90．

∵m＞87，

∴87＜m≤90．

∵m为整数，

∴m＝88、89、90，200﹣m＝112，111，110．

∴该网店有3种进货方案：

方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个；

方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个；

方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个；

（3）分三种情况：

①购进甲种书包88个，乙种书包112个时：

设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，

88×（60﹣50）﹣m×50+112×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，

解得，m＝3，4﹣m＝1，

故甲书包赠送3个，乙书包赠送1个；

②购进甲种书包89个，乙种书包111个时；

设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，

89×（60﹣50）﹣m×50+111×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，

解得，m＝3.5，

∵m是整数，故此种情况不成立；

③购进甲种书包90个，乙种书包110个时；

设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，

90×（60﹣50）﹣m×50+110×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，

解得，m＝4，4﹣m＝0，

故甲书包赠送4个，乙书包赠送0个．

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．