试卷 -江苏省无锡市江阴市长泾片2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）

1．下列图形中，轴对称图形的个数为（　　）

A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个

2．下列给出的三条线段的长，不能组成直角三角形的是（　　）

A．32、42、52 B．9、40、41 C．7、24、25 D．5、12、13

3．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． 

C． D．

4．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（　　）

A．13 B．26 C．47 D．94

6．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）

A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 

C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点

7．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（　　）

A．26 B．28.8 C．26.8 D．28

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL

9．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

10．如图，在正方形ABCD的两条对称轴m、n上找点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA均为等腰三角形，则满足条件的点P（　　）个．

A．10 B．9 C．1 D．5

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）

11．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度　   　．（填写“增大”或“减小”或“不变”）

12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是　   　．

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　   　度．

14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积为50和39，则△EDF的面积为　   　．

15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于　   　cm．

16．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，∠CDE＝25°，现将△CDE沿直线DE翻折得到△FDE，连接BF，则∠BFE的度数是　   　．

17．如图，圆柱形容器高8cm，底面周长18cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，则蚂蚁的平均速度至少是每秒钟　   　cm．

18．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点

O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为　   　．（填序号）

三、解答题（本大题共8小题，共54分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．

20．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P． （请保留作图痕迹）

21．已知：如图，AC、BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）若OC＝1.8，求OB的长．

22．如图，某公司（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路边建一个物流站（C点），使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．

23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，求△ABC的面积．

24．数学课后，某同学在思考这样一个问题：“已知：如图，若AD既是△ABC的中线，又是∠BAC的平分线，能否判断△ABC的形状？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．”请你帮助他解决这个问题．

25．如图，Rt△ACB在直线l上，且∠ABC＝90°，BC＝6cm，AC＝10cm．

（1）求AB的长．

（2）若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动，则当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

26．在等腰直角三角形ABC左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD、CD，其中CD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB＝28°，求∠ACD的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，CE，DE之间的数量关系，并证明．

2020-2021学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列图形中，轴对称图形的个数为（　　）

A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行判断．

【解答】解：第一、四个图形不是轴对称图形，第二、三个是轴对称图形，共2个轴对称图形，

故选：B．

2．下列给出的三条线段的长，不能组成直角三角形的是（　　）

A．32、42、52 B．9、40、41 C．7、24、25 D．5、12、13

【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

【解答】解：A、因为92+162≠252，所以三条线段不能组成直角三角形；

B、因为92+402＝412，所以三条线段能组成直角三角形；

C、因为72+242＝252，所以三条线段能组成直角三角形；

D、因为52+122＝132，所以三条线段能组成直角三角形．

故选：A．

3．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．

【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；

B、与三角形ABC有两边及其夹角相等，二者全等；

C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；

D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．

故选：B．

4．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE．

【解答】解：如图，过点P作PF⊥AB于F，

∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，

∴PF＝PE＝5，

即点P到AB的距离是5．

故选：C．

5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（　　）

A．13 B．26 C．47 D．94

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，

即S3＝9+25+4+9＝47．

故选：C．

6．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　）

A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 

C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点

【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．

【解答】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，

∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．

故选：A．

7．如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处，已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为（　　）

A．26 B．28.8 C．26.8 D．28

【分析】由折叠的性质可知BC＝PM+MN+PN，且AB与Rt△PMN中边MN上的高相等，在Rt△PMN中可求得MN及MN边上的高，则可求得答案．

【解答】解：

∵∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，

∴MN＝5，边MN上的高＝＝，

又由折叠的性质可知BC＝PM+MN+PN＝3+5+4＝12，AB＝，

∴S矩形ABCD＝12×＝28.8，

故选：B．

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．ASA C．SSS D．HL

【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．

【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°，

在△EDC和△ABC中，

，

∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故选：B．

9．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

【分析】根据∠COP＝∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，可得∠APO＝∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP＝CO，即可解题．

【解答】解：∵∠COP＝∠A+∠APO＝∠POD+∠COD，∠A＝∠POD＝60°，

∴∠APO＝∠COD．

在△APO和△COD中，

，

∴△APO≌△COD（AAS），

∴AP＝CO，

∵CO＝AC﹣AO＝6，

∴AP＝6．

故选：C．

10．如图，在正方形ABCD的两条对称轴m、n上找点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA均为等腰三角形，则满足条件的点P（　　）个．

A．10 B．9 C．1 D．5

【分析】根据题意得出有三种情况①正方形对角线交点，②画出图形，结合图形得出结论，③和②类似得出符合条件的四个点，即可得出答案．

【解答】解：P点有9处，如图，以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形，则这些等边三角形的顶点为所作的P点，还有正方形的对角线的交点也满足条件．

故选：B．

二．填空题（共8小题）

11．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度　不变　．（填写“增大”或“减小”或“不变”）

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP＝AB．

【解答】解：∵AO⊥BO，点P是AB的中点，

∴OP＝AB＝a，

∴在滑动的过程中OP的长度不变．

故答案为：不变．

12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是　62°或118°　．

【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论．

【解答】解：分两种情况：

①当高在三角形内部时（如图1），

∵∠ABD＝28°，

∴顶角∠A＝90°﹣28°＝62°；

②当高在三角形外部时（如图2），

∵∠ABD＝28°，

∴顶角∠CAB＝90°+28°＝118°．

故答案为：62°或118°．

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　45　度．

【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，可求∠ABC＝∠BAD＝45°．

【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，

又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）

∴∠EAF＝∠DBF，

在Rt△ADC和Rt△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴BD＝AD，

即∠ABC＝∠BAD＝45°．

故答案为：45．

14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积为50和39，则△EDF的面积为　5.5　．

【分析】作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE＝DG，DM＝DE，

∴DM＝DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF＝DN，

∴△DEF≌△DNM（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，

S△DNM＝S△DEF＝S△MDG＝＝5.5

故答案为：5.5．

15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，若三角形内有一点P到各边距离相等，则这个距离等于　2　cm．

【分析】连接AP，BP，CP，设PE＝PF＝PD＝x，根据直角三角形的面积列出方程，即可求得该距离的长．

【解答】解：连接AP，BP，CP．

∵在△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，

∴AC2＝AB2+BC2，

∴△ABC是直角三角形，

设PE＝PF＝PD＝xcm，则S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×30×x＝15x，

∵S△ABC＝×CB×CB＝30，

∴15x＝30，

解得x＝2．

故答案为：2．

16．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，∠CDE＝25°，现将△CDE沿直线DE翻折得到△FDE，连接BF，则∠BFE的度数是　85°　．

【分析】根据等边三角形的性质可得∠C＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，根据翻折变换的性质可得CD＝DF，∠DFE＝∠C，∠CDE＝∠FDE，从而得到BD＝DF，根据等边对等角可得∠DBF＝∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDF＝∠DBF+∠DFB，从而求出∠DFB，再根据∠BFE＝∠DFB+∠DFE计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

∵△CDE沿直线DE翻折得到△FDE，

∴CD＝DF，∠DFE＝∠C＝60°，∠CDE＝∠FDE＝25°，

∴BD＝DF，

∴∠DBF＝∠DFB，

由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DBF+∠DFB＝2∠DFB，

∴∠DFB＝∠CDF＝∠CDE＝25°，

∴∠BFE＝∠DFB+∠DFE＝25°+60°＝85°．

故答案为：85°．

17．如图，圆柱形容器高8cm，底面周长18cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，则蚂蚁的平均速度至少是每秒钟　　cm．

【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．

【解答】解：∵圆柱形玻璃容器高8cm，底面周长18cm，

∴AD＝9cm，

∴蚂蚁所走的路程＝＝15（cm），

∴蚂蚁的平均速度＝15÷4＝（cm/s）．

答：蚂蚁的平均速度至少是cm/s，

故答案为：．

18．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点

O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为　①②③④　．（填序号）

【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB＝OC＝OP，即可解题；

②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC＝2∠ABD＝60°，即可解题；

③在AC上截取AE＝PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO＝CE，即可解题；

④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题．

【解答】解：①连接OB，如图1，

∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，

∴AB＝AC，BD＝CD，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，

∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，

∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；

②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，

△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，

∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，

∴∠POC＝2∠ABD＝60°，

∵PO＝OC，

∴△OPC是等边三角形，故②正确；

③如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO+∠OPE＝60°，

∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP；

故③正确；

④如图3，作CH⊥BP，

∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，

∴∠PCH＝∠OCD，

在△CDO和△CHP中，

，

∴△CDO≌△CHP（AAS），

∴S△OCD＝S△CHP

∴CH＝CD，

∵CD＝BD，

∴BD＝CH，

在Rt△ABD和Rt△ACH中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），

∴S△ABD＝S△AHC，

∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD

∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确．

故答案为：①②③④．

三．解答题

19．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在如图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．

【分析】如图，在四个图形中分别将两个小正方形涂黑，并使阴影部分成为轴对称图形．

【解答】解：如图所示：

20．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P． （请保留作图痕迹）

【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．

【解答】解；如图，点P为所作．

21．已知：如图，AC、BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（2）若OC＝1.8，求OB的长．

【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DCB即可；

（2）由全等三角形的性质得OB＝OC，即可得出答案．

【解答】（1）证明：在△ABC与△DCB中，，

∴△ABC≌△DCB（SSS）；

（2）由（1）知，△ABC≌△DCB，

则∠ACB＝∠DBC，

∴OB＝OC，

∵OC＝1.8，

∴OB＝1.8．

22．如图，某公司（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路边建一个物流站（C点），使之与该公司A及车站D的距离相等，求物流站与车站之间的距离．

【分析】作出A点到公路的距离，构造出直角三角形，利用勾股定理易得BD长，那么根据直角三角形BCD的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离．

【解答】解：作AB⊥L于B，则AB＝300m，AD＝500m．

∴BD＝400m．

设CD＝x，则CB＝400﹣x，

x2＝（400﹣x）2+3002，

x2＝160000+x2﹣800x+3002，

800x＝250000，

x＝312.5m．

答：物流站与车站之间的距离为312.5米

23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，求△ABC的面积．

【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，由SAS证出△ADB与△EDC全等，得到AB＝CE，由勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，△ABC的面积＝△ACE的面积，由三角形的面积公式即可得出结果．

【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，如图所示：

则AE＝2AD＝8，

∵D为BC的中点，

∴DC＝BD，

在△ADB与△EDC中，，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴CE＝AB＝6．

又∵AE＝8，AB＝CE＝6，AC＝10，

∴AC2＝AE2+CE2，

∴∠E＝90°，

∴S△ABC＝S△ACE＝CE•AE＝×6×8＝24．

24．数学课后，某同学在思考这样一个问题：“已知：如图，若AD既是△ABC的中线，又是∠BAC的平分线，能否判断△ABC的形状？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．”请你帮助他解决这个问题．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得AB＝AC，即可求解．

【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

∠BED＝∠CFD＝90°

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

25．如图，Rt△ACB在直线l上，且∠ABC＝90°，BC＝6cm，AC＝10cm．

（1）求AB的长．

（2）若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动，则当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

【分析】（1）直接根据勾股定理可求出AB的长；

（2）△ACP为等腰三角形，分三种情况探讨：①CP＝CA，②AP＝AC，③PA＝PC；逐一分析找出答案即可．

【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝6cm，AC＝10cm，

∴AB＝＝＝8cm；

（2）①如图1，若CP＝CA，

则：BP＝CP+BC＝6+10＝16或BP＝CP﹣BC＝10﹣6＝4，

即2t＝16，t＝8或2t＝4，t＝2；

②如图2，若AP＝AC，

则：AB垂直平分PC，BP＝BC＝6，

即2t＝6，t＝3；

③若PA＝PC，

则P在AC的垂直平分线上，所以P在B左侧，

PB＝2t，BC＝6，

∴t＝8，PA＝2t+6，

∵∠ABP＝90°，

∴AP2＝AB2+BP2，

即（2t+6）2＝（2t）2+82，

解得t＝；

综上所述，当点P向左运动s、2s、3s或向右运动8s时，△ACP为等腰三角形．

26．在等腰直角三角形ABC左侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD、CD，其中CD交直线AP于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB＝28°，求∠ACD的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，CE，DE之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据对称性即可画出图形；

（2）由对称性得出AB＝AD，进而求出∠CAD，即可得出结论；

（3）利用对称性先判断出△BCE是直角三角形，即可得出结论．

【解答】解：（1）如图1所示，

（2）如图1，连接AD，

由对称知，∠PAD＝∠PAB＝28°，AD＝AB，

∵AB＝AC，

∴AD＝AC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝∠PAD+∠PAB+∠BAC＝28°+28°+90°＝146°，

∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝17°；

（3）CE2+DE2＝2AB2

理由：如图

连接BE，AD，

由对称轴知，BE＝DE，AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∵DE＝BD，

∴∠BDE＝∠DBE，

∴∠BDE﹣∠ADB＝∠DBE﹣∠ABD，

∴∠ADE＝∠ABE，

∵AB＝AD，AB＝AC，

∴AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC，

∴∠ABE＝∠ACD，

∵∠AFB＝∠CFE，

∴∠BEC＝∠BAC＝90°，

∴△BEC是直角三角形，

∴BE2+CE2＝BC2，

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴BC＝AB，

∴CE2+DE2＝2AB2