试卷 -河南省郑州市2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

2020-2021学年河南省郑州市九年级（上）期中数学试卷

一、单选题（30分）

1．方程x2＝2x的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0

2．下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

3．小明将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B． C．6 D．

8．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m2﹣m＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 

B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 

D．根的情况由字母m的取值确定

9．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（　　）

A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm

10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转结束时，点F2020的坐标为（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

二、填空题（15分）

11．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　   　（填上一个符合条件的方程即可答案不唯一）．

12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　   　．

13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是　   　．

14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　   　米．

15．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为　   　cm．

三、解答题（75分）

16．解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣24＝0                    

（2）用配方法解方程：x2+6x﹣1＝0．

17．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为　   　时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为　   　时，四边形AMDN是菱形．

18．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　   　人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0．

（1）若该方程有一个根为﹣1，求m的值；

（2）请判断这个方程根的情况．

20．某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG．已知AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．

21．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．

（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；

（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？

22．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　   　；②当α＝180°时，＝　   　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

23．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

2020-2021学年河南省郑州市九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．方程x2＝2x的解是（　　）

A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝，x2＝0

【分析】先移项，再提公因式，解两个一元一次方程即可．

【解答】解：移项得，x2﹣2x＝0，

提公因式得x（x﹣2）＝0，

x＝0或x﹣2＝0，

x1＝0，x2＝2，

故选：C．

2．下列说法：

①四边相等的四边形一定是菱形

②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形

③对角线相等的四边形一定是矩形

④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分

其中正确的有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．

【解答】解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；

∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；

∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；

∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；

其中正确的有2个．

故选：C．

3．小明将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率是（　　）

A． B． C． D．

【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“中华”的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：列表得：

∵12种可能的结果中，能组成“中华”有2种可能，共2种，

∴两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率＝＝．

故选：B．

4．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD

∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，

∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵OM＝AC，

∴MN＝AC，

∴四边形AMCN是矩形．

故选：A．

5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．

【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，

B．∵DE∥BC，

∴＝，

∵EF∥AB，

∴DE＝BF，

∴＝，

∴＝，

故本选项正确，

C．∵EF∥AB，

∴＝，

∵CF≠DE，

∴≠，

故本选项错误，

D．∵EF∥AB，

∴＝，

∴＝，

故本选项正确，

故选：C．

6．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，得出∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．

【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，如图

∵AB＝AF，AO平分∠BAD，

∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴AB＝EB，

而BO⊥AE，

∴AO＝OE，

在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，

∴AE＝2AO＝8．

故选：C．

7．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B． C．6 D．

【分析】连接BP，如图，根据菱形的性质得BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，然后利用三角形面积公式，由S△ABC＝S△PAB+S△PBC，得到×5×PE+×5×PF＝12，再整理即可得到PE+PF的值．

【解答】解：连接BP，如图，

∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，

∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，

∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，

∴×5×PE+×5×PF＝12，

∴PE+PF＝，

故选：B．

8．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣m2﹣m＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 

B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 

D．根的情况由字母m的取值确定

【分析】先计算判别式的值得到△＝8m2+1，再利用非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：△＝（2m﹣1）2﹣4（﹣m2﹣m）

＝4m2﹣4m+1+4m2+4m

＝8m2+1，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

9．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（　　）

A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm

【分析】易知△ABC∽△DEC，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．

【解答】解：∵DE∥AB

∴CD：AC＝DE：AB

∴40：60＝DE：12

∴DE＝8cm

故选：A．

10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转结束时，点F2020的坐标为（　　）

A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

【分析】先求出点F坐标，由题意可得每次8旋转一个循环，即可求解．

【解答】解：∵点B（2，0），

∴OB＝2，

∴OA＝2，

∴AB＝OA＝2，

∵四边形ABEF是菱形，

∴AF＝AB＝2，

∴点F（2，2），

由题意可得每次8旋转一个循环，

∴2020÷8＝252…4，

∴点F2020的坐标与点F坐标关于原点对称，

∴点F2020的坐标（﹣2，﹣2）

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是　x2＝4　（填上一个符合条件的方程即可答案不唯一）．

【分析】设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），把x＝2代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一．

【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），把x＝2代入可得，4a+2b+c＝0

所以只要a（a≠0），b、c的值满足4a+2b+c＝0即可．

如x2＝4等．

答案不唯一．

12．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝　　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．

【解答】解：∵DE∥AC，

∴，

即，

解得：EC＝．

故答案为：．

13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是　　．

【分析】列举出所有情况，看朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的情况数占总情况的多少即可．

【解答】解：列表得：

由表可发现共有36种可能，由于没有顺序，因此发现，在这36种结果中，一个点数能被另一个点数整除的情况出现了22次．

所以一个点数能被另一个点数整除的概率是＝．

故答案为：．

14．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　米．

【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，

整理，得x2﹣35x+34＝0．

解得，x1＝1，x2＝34．

∵34＞30（不合题意，舍去），

∴x＝1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

故答案为：1．

15．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为　　cm．

【分析】由折叠的性质可得∠1＝∠2，BM＝MB′，可证MB′＝NB′，由勾股定理可求解．

【解答】解：如图中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠1＝∠3，

由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，

∴∠2＝∠3，

∴MB′＝NB′，

∵NB′＝＝＝（cm），

∴BM＝NB′＝（cm），

故答案为：．

三．解答题

16．解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣24＝0                    

（2）用配方法解方程：x2+6x﹣1＝0．

【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）方程利用配方法求出解即可．

【解答】解：（1）分解因式得：（x+4）（x+6）＝0，

可得x+4＝0或x+6＝0，

解得：x1＝﹣4，x2＝﹣6；  

（2）x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，

开方得：x+3＝±，

解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．

17．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为　1　时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为　2　时，四边形AMDN是菱形．

【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；

（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝1时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM＝DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵点E是AD边的中点，

∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND＝MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝2．

∵AM＝AD＝1，

∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

故答案为：1；

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝2，

∴AM＝AD＝2，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，

故答案为：2．

18．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球  B．乒乓球C．羽毛球  D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　200　人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；

（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；

（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）根据题意得：20÷＝200（人），

则这次被调查的学生共有200人；

（2）补全图形，如图所示：

（3）列表如下：

所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，

则P＝＝．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2＝0．

（1）若该方程有一个根为﹣1，求m的值；

（2）请判断这个方程根的情况．

【分析】（1）根据方程的解的概念将x＝﹣1代入，解关于m的方程即可得；

（2）根据△＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0即可判断．

【解答】解：（1）x＝﹣1代入x2﹣mx+m﹣2＝0得：1+m+m﹣2＝0，

解得m＝；

（2）∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣2，

∴b2﹣4ac＝m2﹣4m+8，

∴b2﹣4ac＝（m﹣2）2+4，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

20．某市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位，公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG．已知AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm，求点A到地面的距离．

【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

【解答】解：过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N，

∵AD＝24cm，则NC＝24cm，

∴BN＝＝＝7（cm），

∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN，

∴△BNC∽△BMA，

∴＝，

∴＝，

则：AM＝＝，

故点A到地面的距离是：+4＝（cm）．

答：点A到地面的距离是cm．

21．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．

（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；

（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？

【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；

（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．

【解答】解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200

解得x1＝0.25＝25%，x＝﹣2.25（舍去）

所以四、五月份销售量平均增长率为25%；

（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250

解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）

所以商品降价5元时，商场获利2250元．

22．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　　；②当α＝180°时，＝　　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．

②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．

（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．

（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．

【解答】解：（1）①当α＝0°时，

∵Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴，

∴．

②如图1，，

当α＝180°时，

可得AB∥DE，

∵，

∴＝．

故答案为：．

（2）如图2，，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如图3，，

∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，

∴AD＝＝，

∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，

∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，

∴AD＝＝，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE＝＝2，

∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，

由（2），可得

，

∴BD＝＝．

综上所述，BD的长为4或．

23．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F．

（1）证明：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论；

（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，

∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA＝PC，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP，

∴∠DAP＝∠DCP，

∵PA＝PE，

∴∠DAP＝∠E，

∴∠DCP＝∠E，

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF＝∠EDF＝90°；

（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE，

∴∠DAP＝∠DCP，

∵PA＝PC，

∴∠DAP＝∠AEP，

∴∠DCP＝∠AEP

∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，

即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC＝CE，

∴AP＝CE．