2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学一模试卷

这是一份2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣π B．|﹣1| C．﹣ D．﹣
2．（3分）数轴上表示﹣8和2的点分别是A和B，则线段AB的长度是（　　）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
3．（3分）方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0 x2＝2 D．x1＝0 x2＝
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（2a）3＝2a3 B．a3+a2＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．（a2）3＝a6
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，3为半径的圆与AB所在直线的位置关系是（　　）

A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+2 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x2﹣2
7．（3分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.7
9.5
9.5
9.7
方差/环2
5.1
4.7
4.5
4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（3分）某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（　　）
A．80 B．120 C．160 D．200
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为　 　边形．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+3沿y轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为　 　．
12．（3分）抛一枚质地均匀的硬币，前2次都是反面朝上，则抛第3次时反面朝上的概率是　 　．
13．（3分）用一个半径为20cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为　 　cm．（精确到0.1cm）
14．（3分）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　 　．

15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝　 　．

16．（3分）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝　 　．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
17．（8分）（1）计算：|﹣5|+（）﹣1﹣（+1）0；
（2）化简：（a+b）2+b（a﹣b）．
18．（8分）解方程：
（1）（x+2）2﹣3（x+2）＝0；
（2）﹣＝0．
19．（8分）如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．
求证：DC＝DF．

20．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）该调查统计数据的中位数是　 　，众数是　 　．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
21．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
22．（10分）当自变量x＝4时，二次函数的值最小，最小值为﹣3，且这个函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个函数的图象与y轴交点的坐标．
23．（10分）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．

24．（10分）某商店销售一种服装，已知该服装每件成本为50元．经市场调研，售价为每件60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．
问：商店销售这批服装计划获利12000元，应如何进货？每件售价多少元？
五、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
25．（3分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为13，直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值等于　 　．
26．（3分）如图，在凸四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝120°，BC＝CD＝12cm，则线段AC的长等于　 　cm．

27．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程cx2+bx+a＝0的两个根为　 　．

28．（3分）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，视数学为灾难，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时开打进水管和出水管，多少小时可注满空池？“神经吧，你到底想放水还是注水？这题也太变态了!”崔永元很困惑．
这类放水注水题，相信同学们小学时就接触不少，其实这只是个数学模型，用来形象地刻画“增加量﹣消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题，突出数学建模、数学抽象等核心素养，体现数学魅力所在．
例如，某仓库，从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y（吨）与时间x（时）之间的部分关系如图，那么从不进货起　 　小时后该仓库内的货恰好运完．

六、解答题（本大题共2小题，第5题8分，第6题10分，共18分）
29．（8分）如图，⊙O的直径AB＝4cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式，并在坐标系中画出它的图象．

30．（10分）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，则此抛物线的函数表达式为　 　，当m满足　 　时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为[1，﹣5，3b]的“抛物线三角形”的面积；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c中，系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．

2021年江苏省宿迁市泗洪县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣π B．|﹣1| C．﹣ D．﹣
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，
可得﹣π＜﹣2，
所以比﹣2小的数是﹣π．
故选：A．
2．（3分）数轴上表示﹣8和2的点分别是A和B，则线段AB的长度是（　　）
A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可．
【解答】解：线段AB的长为：2﹣（﹣8）＝10．
故选：C．
3．（3分）方程x2＝2x的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0 x2＝2 D．x1＝0 x2＝
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0，x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A．（2a）3＝2a3 B．a3+a2＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、（2a）3＝8a3，故本选项错误；
B、a3+a2不能合并，故本选项错误；
C、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
D、（a2）3＝a6，故本选项正确；
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，3为半径的圆与AB所在直线的位置关系是（　　）

A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
【分析】根据在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，可以求得AB的长，然后根据等积法可以求得斜边AB上的高，然后与2.5比较大小，即可解答本题．
【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴斜边AB上的高为：3×4÷5＝2.4，
∵2.4＜3，
∴圆C与AB所在直线的位置关系是相交．
故选：A．
6．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2+2 C．y＝﹣x+1 D．y＝﹣x2﹣2
【分析】x＞0时，函数图象是指y轴右边的部分，可以画出图象根据图象走势判断．
【解答】解：x＞0时，图象在y轴右侧，
A、y轴右侧，x越大，y越小，故A不符合题意，

B、y轴右侧，x越大，y也越大，故B符合题意，

C、y轴右侧，x越大，y越小，故C不符合题意，

D、y轴右侧，x越大，y越小，故D不符合题意，

故选：B．
7．（3分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.7
9.5
9.5
9.7
方差/环2
5.1
4.7
4.5
4.5
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S甲2＝5.1，S乙2＝4.7，S丙2＝4.5，S丁2＝4.5，
∴S甲2＞S乙2＞S2丁＝S2丙，
∵丁的平均数大，
∴最合适的人选是丁．
故选：D．
8．（3分）某单位为某中学捐赠了一批新桌椅．学校组织七年级300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（　　）
A．80 B．120 C．160 D．200
【分析】设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，根据题意列出不等式即可求解．
【解答】解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需人，
根据题意，得
2x+≤300，
解得x≤120．
答：最多可搬桌椅120套．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　x≤2　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
10．（3分）若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为　八　边形．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为360°÷45°＝8．
则这个多边形是 八边形．
故答案为：八．
11．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+3沿y轴向下平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为　（2，﹣4）　．
【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴y轴向下平移3个单位后抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为（2，﹣4），
故答案是：（2，﹣4）．
12．（3分）抛一枚质地均匀的硬币，前2次都是反面朝上，则抛第3次时反面朝上的概率是　　．
【分析】投掷一枚硬币，是一个随机事件，可能出现的情况有两种：反面朝上或者反面朝下，而且机会相同．
【解答】解：第3次掷硬币，出现反面朝上的机会和朝下的机会相同，都为；
故答案为：．
13．（3分）用一个半径为20cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为　17.3　cm．（精确到0.1cm）
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用弧长公式得到2πr＝，解得r＝10，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝，解得r＝10，
所以圆锥的高为＝10≈17.3（cm）．
故答案为17.3．
14．（3分）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为　　．

【分析】先根据⊙O的直径AB＝12求出OB的长，再根据BP：AP＝1：5得出BP的长，进而得出OP的长，连接OC，根据勾股定理求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝AB＝6，
∵BP：AP＝1：5，
∴BP＝AB＝×12＝2，
∴OP＝OB﹣BP＝6﹣2＝4，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2PC，∠OPC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∴CD＝2PC＝4．
故答案为：4．

15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝　5　．

【分析】作直径DG，连接CG，如图，利用圆周角定理得到∠DCG＝90°，再证明∠ADB＝∠CDG，则AB＝CG，接着根据垂径定理得到DF＝CF，则OF为△DCG的中位线，所以CG＝2OF＝5，从而得到AB的长．
【解答】解：作直径DG，连接CG，如图，
∵DG为直径，
∴∠DCG＝90°，
∴∠CDG+∠G＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DAC＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDG，
∴＝，
∴AB＝CG，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF，
∵OD＝OG，
∴OF为△DCG的中位线，
∴CG＝2OF＝2×＝5，
∴AB＝5．
故答案为5．

16．（3分）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝　15或18　．
【分析】设连续的整数分别为a，a+1，a+2，用a的代数式分别表示出m，n，再建立关于a的方程求出a即可．
【解答】解：设三个整数分别为a，a+1，a+2，
所以 m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，
由n＝11（m﹣8），
所以 3a2+6a+5＝11（3a﹣5），
解得a＝4或5，
则m＝15或18．
三、解答题（本大题共4题，每题8分，共32分）
17．（8分）（1）计算：|﹣5|+（）﹣1﹣（+1）0；
（2）化简：（a+b）2+b（a﹣b）．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝5+2﹣1
＝7﹣1
＝6；
（2）原式＝a2+2ab+b2+ab﹣b2
＝a2+3ab．
18．（8分）解方程：
（1）（x+2）2﹣3（x+2）＝0；
（2）﹣＝0．
【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）（x+2）（x+2﹣3）＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝1；
（2）去分母得：2x+2﹣x＝0，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解．
19．（8分）如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．
求证：DC＝DF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝DC，易证得△DEF≌△AEB，则可得DF＝AB，继而证得DC＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠F＝∠EBA，
∵E是AD边的中点，
∴DE＝AE，
在△DEF和△AEB中，
∵，
∴△DEF≌△AEB（AAS），
∴DF＝AB，
∴DC＝DF．
20．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）a＝　17　，b＝　20　．
（2）该调查统计数据的中位数是　2次　，众数是　2次　．
（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．

【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：17、20；

（2）由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为：2次、2次；

（3）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；

（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×＝120人．
四、解答题（本大题共4题，每题10分，共40分）
21．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可；
（2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；

（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2．
22．（10分）当自变量x＝4时，二次函数的值最小，最小值为﹣3，且这个函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个函数的图象与y轴交点的坐标．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣4）2﹣3，然后把（1，0）代入求出a即可；
（2）计算自变量为0对应的函数值可得到抛物线与y轴交点的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线的顶点坐标为（4，﹣3），与x轴的一个交点坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣3，
把（1，0）代入得a（1﹣4）2﹣3＝0，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3；
（2）当x＝0时，y＝（0﹣4）2﹣3＝，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，）．
23．（10分）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．

【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用圆面积公式计算即可．
【解答】解：（1）边BC旋转一周所形成的图形是图中的圆环．
（2）圆环的面积＝π•AB2﹣π•AC2＝π（AB2﹣AC2）＝π•BC2＝9π（cm2）．

24．（10分）某商店销售一种服装，已知该服装每件成本为50元．经市场调研，售价为每件60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．
问：商店销售这批服装计划获利12000元，应如何进货？每件售价多少元？
【分析】要求服装的单价，就要设服装的单价为x元，则每件服装的利润是（x﹣50）元，销售服装的件数是[800﹣20（x﹣60）]件，以此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设单价应定为x元，根据题意得：
（x﹣50）[800﹣（x﹣60）÷5×100]＝12000，
（x﹣50）[800﹣20x+1200]＝12000，
x2﹣150x+5600＝0，
解得x1＝70，x2＝80．
∴进货[800﹣20（80﹣60）]＝400（件）或[800﹣20（70﹣60）]＝600，
答：进货400件或600件，这种服装的单价应定为80或70元．
五、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
25．（3分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为13，直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值等于　24　．
【分析】先利用直线解析式确定直线y＝kx﹣3k+4过定点（3，4），如图，P（3，4），连接OB，如图，当BC⊥OP时，弦BC最短，根据垂径定理得到BP＝PC，再利用勾股定理计算出OP，然后利用勾股定理计算出BP，从而得到弦BC长的最小值．
【解答】解：∵y＝kx﹣3k+4，
∴（x﹣3）k＝y﹣4，
∵k为无数个值，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，
∴直线y＝kx﹣3k+4过定点（3，4），
如图，P（3，4），连接OB，如图，
当BC⊥OP时，弦BC最短，此时BP＝PC，
∵OP＝＝5，
∴BP＝＝12，
∴BC＝2BP＝24，
即弦BC长的最小值等于24．
故答案为24．

26．（3分）如图，在凸四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝120°，BC＝CD＝12cm，则线段AC的长等于　12　cm．

【分析】连接AC，由∠BAD＝∠BCD＝120°BC＝CD，作辅助线：把△ACD绕点C按逆时针方向旋转120°得到△ECB，使CD与BC重合，则△ACD≌△ECB，进而可得四边形ABCE和四边形ABCD全等，则AC＝EC＝BC＝CD，已知BC＝CD＝12cm，则问题得解．
【解答】解：连接AC，
∵∠BAD＝∠BCD＝120°，BC＝CD，
∴把△ACD绕点C按逆时针方向旋转120°得到△ECB，使CD与BC重合，
∴△ACD≌△ECB，∠ACE＝120°，
∴AC＝CE，BE＝AD，∠CBE＝∠D，
∵∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠ABC+∠D＝120°，
∴∠ABC+∠CBE＝120°，即∠ABE＝120°，
又∵△ABC是公共部分，
∴四边形ABCE和四边形ABCD全等，
∴AC＝EC＝BC＝CD，
∵BC＝CD＝12cm，
∴AC＝12cm．
故答案为：12．

27．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程cx2+bx+a＝0的两个根为　x1＝﹣1，x2＝　．

【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点，然后即可得到ax2+bx+c＝0的解，然后再变形，即可得到方程cx2+bx+a＝0的两个根．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴该函数与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c，可得x1＝﹣1，x2＝3，
当ax2+bx+c＝0，x≠0时，可得a+b（）+c（）2＝0，
设＝t，可得ct2+bt+a＝0，
∴t1＝﹣1，t2＝，
由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝．
28．（3分）央视前著名主持人崔永元曾自曝，自小不爱数学，视数学为灾难，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时开打进水管和出水管，多少小时可注满空池？“神经吧，你到底想放水还是注水？这题也太变态了!”崔永元很困惑．
这类放水注水题，相信同学们小学时就接触不少，其实这只是个数学模型，用来形象地刻画“增加量﹣消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题，突出数学建模、数学抽象等核心素养，体现数学魅力所在．
例如，某仓库，从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y（吨）与时间x（时）之间的部分关系如图，那么从不进货起　8　小时后该仓库内的货恰好运完．

【分析】由图像计算出进货速度和出货速度，由此可得结果．
【解答】解：由图像可知：从0至4小时，进货20吨，
故进货速度为每小时5吨．
∵从4小时到12小时仓库货物增加了（30﹣20）吨，
∴经过8小时仓库货物增加了10吨．
∴出货的速度为：（5×8﹣10）÷8＝（吨）．
∴从不进货起，需要30÷＝8小时后该仓库内的货恰好运完．
故答案为：8．
六、解答题（本大题共2小题，第5题8分，第6题10分，共18分）
29．（8分）如图，⊙O的直径AB＝4cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式，并在坐标系中画出它的图象．

【分析】作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理即可求出y关于x的函数解析式；求出自变量的取值范围，画出图象即可．
【解答】解：如图1，过点D作DF⊥BC于点F；

∵AD、BC分别是⊙O的切线，
∴∠OAD＝∠OBF＝90°，
又∵DF⊥BC，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF＝AB＝4cm，BF＝AD；
∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，CF＝y﹣x；
∴DC＝x+y；
由勾股定理得：DC2＝DF2+CF2，
即（x+y）2＝（y﹣x）2+42，
整理得：xy＝4，
∴y＝，
∴y关于x的函数表达式为y＝（x＞0），
函数图象如图所示，

30．（10分）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，则此抛物线的函数表达式为　y＝﹣x2+m　，当m满足　m≤0　时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为[1，﹣5，3b]的“抛物线三角形”的面积；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c中，系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．
【分析】（1）由一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，可得y＝﹣x2+m，结合抛物线性质即可得到答案；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角形性质有：OE＝AE＝DE，即OA＝2ED，抛物线顶点D（﹣，﹣），A（﹣b，0），则b2＝2|b|，可求得b＝2或﹣2，再分类讨论计算即可．
（3）系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，a＝±1，b＝﹣1，0，1，c＝﹣1，0，1，一共有18种情况，a＝1，b＝0，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝0，c＝1时，抛物线为y＝x2﹣1或y＝﹣x2+1，EH＝2，GF＝1，EH＝2GF，△EFH为等腰直角三角形，能构成等腰直角三角形的只有两种情况，利用概率公式可求得答案．
【解答】解：（1）∵一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，
∴y＝﹣x2+m，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”，
∴当m≤0时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
故答案为：y＝﹣x2+m，m≤0；
（2）如图1，抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
设抛物线与x轴的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，
由等腰直角三角形性质有：OE＝AE＝DE，即OA＝2ED，
y＝x2+bx＝﹣，
抛物线顶点D（﹣，﹣），A（﹣b，0），
∴OA＝|b|，DE＝，
则|b|＝2×，
∴b2＝2|b|，
若b≥0时，b2＝2b，解得：b1＝2，b2＝0（不存在三角形，舍去），
若b＜0时，b2＝﹣2b，解得：b1＝﹣2，b2＝0（舍去），
∴当b＝2时，抛物线系数为[1，﹣5，6]，抛物线为y＝x2﹣5x+6，
令y＝0，得：x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，
顶点坐标为（，），与x轴的交点为（2，0），（3，0），
抛物线系数为[1，﹣5，6]的“抛物线三角形”的面积＝×（3﹣2）×＝，
当b＝﹣2时，抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]，抛物线为y＝x2﹣5x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），与x轴的交点为（6，0），（﹣1，0），
抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]的“抛物线三角形”的面积＝×（6+1）×＝，
（3）∵系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，
∴a＝±1，b＝﹣1，0，1，c＝﹣1，0，1，
一共有18种情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑，
①一次项系数为0，a＝1，b＝0，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝0，c＝1，
抛物线为y＝x2﹣1（如图2）或y＝x2+1（如图3），
EH＝2，GF＝1，EH＝2GF，
∴△EFH为等腰直角三角形，

a＝﹣1，b＝0，c＝﹣1或a＝1，b＝0，c＝1时，y＝x2+1（如图4），y＝﹣x2﹣1（如图5）没有抛物线三角形，

②系数都不为0，a＝1，b＝1，c＝1或a＝1，b＝﹣1，c＝1或a＝1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝1，
y＝x2+x﹣1，△＝5，x＝，EH＝，GF＝，EH≠2GF，不是，

③常数项为0，a＝1，b＝1，c＝0或a＝1，b＝﹣1，c＝0或a＝﹣1，b＝1，c＝0或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0都不能构成，
其它y＝±x2也没有抛物线三角形，
综上，能构成等腰直角三角形的只有两种，
该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率＝＝．