2021年宁夏银川市贺兰县中考数学模拟试卷（一）

这是一份2021年宁夏银川市贺兰县中考数学模拟试卷（一），共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列运算，错误的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．D．61200＝6.12×104
2．（3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×104亿元B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元D．84.5×102亿元
3．（3分）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8B．20C．8或20D．10
5．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）
A．10.5，16B．8.5，16C．8.5，8D．9，8
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．50°
7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（ ）
A．B．C．D．1
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝﹣x﹣2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝ ．
10．（3分）某校举行“中国诗词大会”的比赛每班限报一名选手，九（1）班甲、乙、丙、丁四位选手在班级选拔赛时的数据如表：
根据表中数据，要从四个同学中选择一个成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择是 （填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）
11．（3分）计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣1.41）0＝ ．
12．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为 m．
13．（3分）如果在解关于x的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为 ．
14．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 cm2．
15．（3分）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有 ．（只填序号）
三、解答题（本大题共6道题，每题6分，共36分）
17．（6分）解不等式组，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
18．（6分）先化简，再求值：﹣÷，其中x＝﹣2．
19．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且相似比为2：1，并直接写出△A2BC2的面积．
20．（6分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，C等级对应的圆心角为 度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．
22．（6分）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
四、解答题（本大题共4道题，其中23，24每题8分，25，26每题10分，共36分）
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
24．（8分）如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．
25．（10分）随着《流浪地球》的热播，其同名科幻小说的销量也急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次增购该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
①直接写出网店销售该科幻小说每天的销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
②网店决定每销售1套该科幻小说，就捐赠a（0＜a＜7）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得的最大利润为1960元，求a的值．
26．（10分）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年宁夏银川市贺兰县中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列运算，错误的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．（x+y）2＝x2+y2
C．D．61200＝6.12×104
【分析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；零指数幂：a0＝1（a≠0）；科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法进行分析即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故原题计算正确；
B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故原题计算错误；
C、（﹣1）0＝1，故原题计算正确；
D、61200＝6.12×104，故原题计算正确；
故选：B．
2．（3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.845×104亿元B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元D．84.5×102亿元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．
故选：B．
3．（3分）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y＝（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到m﹣2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方法进行判断．
【解答】解：∵直线y＝（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限，
∴m﹣2＜0且n＜0，
∴m＜2且n＜0．
故选：C．
4．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2﹣7y+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8B．20C．8或20D．10
【分析】边AB的长是方程y2﹣7y+10＝0的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵解方程y2﹣7y+10＝0得：y＝2或5
∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为5．
∴菱形ABCD的周长为4×5＝20．
故选：B．
5．（3分）如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是（ ）
A．10.5，16B．8.5，16C．8.5，8D．9，8
【分析】根据中位数、众数的概念分别求解即可．
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是（ ）
A．70°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′＝∠CAB＝70°，则∠AC′C＝∠ACC′＝70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠B′AB＝40°．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠B′AB＝40°，
故选：C．
7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（ ）
A．B．C．D．1
【分析】连OM，ON，利用切线长定理知OM，ON分别平分角BMN，角CNM，再利用三角形和四边形的内角和可求得△OBM与△NOC还有一组角相等，由此得到它们相似，通过相似比可解决问题．
【解答】解：连OM，ON，如图
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM•CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．
8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，则一次函数y＝﹣x﹣2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由函数图象经过y轴正半轴可知c＞0，利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0．图象经过y轴正半可知c＞0，根据对称轴和一个交点坐标用a表示出b，c，b＝2a＝﹣，c＝，
由一次函数y＝﹣x﹣2b与反比例函数y＝得到：＝﹣x﹣2b，即x2﹣4x+3＝0．
则△＝16﹣12＝4＞0，
所以，可以确定一次函数和反比例函数有2个交点，
由b＜0可知，直线y＝﹣x﹣2b经过一、二、四象限，
由c＞0可知，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）分解因式3x2﹣27y2＝ 3（x+3y）（x﹣3y） ．
【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
10．（3分）某校举行“中国诗词大会”的比赛每班限报一名选手，九（1）班甲、乙、丙、丁四位选手在班级选拔赛时的数据如表：
根据表中数据，要从四个同学中选择一个成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择是 甲 （填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可．
【解答】解：∵＝＞＞，
∴从甲和丁中选择一人参加比赛，
∵S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴选择甲参赛；
故答案为：甲．
11．（3分）计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣1.41）0＝ 2+ ．
【分析】利用负指数整数幂、特殊角三角函数值、零指数幂即可化简求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为 12 m．
【分析】易证△AEB∽△ADC，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程求解即可．
【解答】解：因为BE∥CD，所以△AEB∽△ADC，
于是＝，即＝，解得：CD＝12m．
旗杆的高为12m．
13．（3分）如果在解关于x的分式方程+＝2时出现了增根x＝1，那么常数k的值为 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝1代入整式方程计算即可求出k的值．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣k＝2x﹣2，
解得：x＝2﹣k，
由分式方程的增根为x＝1，得到2﹣k＝1，
解得：k＝1，
故答案为：1
14．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 16π cm2．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，
故表面积＝πrl+πr2＝π×2×6+π×22＝16π（cm2）．
故答案为：16π．
15．（3分）如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 60 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．
【解答】解：∵∠B＝56°，∠C＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°，BC＝BD+CD＝100米，
∴BD＝，CD＝，
∴+＝100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有 ①②③⑤ ．（只填序号）
【分析】根据图象可判断①②③④⑤，由x＝1时，y＜0，可判断⑥
【解答】解由图象可得，a＞0，c＜0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，对称轴为x＝
∴abc＞0，4ac＜b2，当x＜时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确
∵﹣＝＜1
∴2a+b＞0
故③正确
由图象可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误
当x＝1时，y＝a+b+c＜0
故⑥错误
故答案为①②③⑤
三、解答题（本大题共6道题，每题6分，共36分）
17．（6分）解不等式组，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出其公共解集内x的整数解即可．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣，
由②得，x＜3，
故此不等式组的解集为：﹣≤x＜3，
在数轴上表示为：
此不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2．
18．（6分）先化简，再求值：﹣÷，其中x＝﹣2．
【分析】原式第二项变形后约分，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝．
19．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（4，5），C（3，2）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且相似比为2：1，并直接写出△A2BC2的面积．
【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长BA到A2使BA2＝2BA，延长BC到C2使BC2＝2BC，从而得到△A2BC2；先计算出△ABC的面积，然后把△ABC的面积乘以4得到△A2BC2面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；△A2BC2的面积＝4S△ABC＝4×××＝20．
20．（6分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加知识竞赛的学生共有 40 人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝ 10 ，n＝ 40 ，C等级对应的圆心角为 144 度；
（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
【分析】（1）从两个统计图可得，“D级”的有12人，占调查人数的30%，可求出调查人数；进而求出“B级”的人数，即可补全条形统计图；
（2）计算出“A级”所占的百分比，“C级”所占的百分比，进而求出“C级”所对应的圆心角的度数；
（3）用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【解答】解：（1）12÷30%＝40人，40×20%＝8人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2）4÷40＝10%，16÷40＝40%，
360°×40%＝144°．
故答案为：10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为＝．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE＝CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．
（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF＝DC＝DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
又∵在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF＝DC＝DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
22．（6分）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
【分析】（1）首先设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，利用所运物资为260吨得出等式方程求出即可；
（2）根据安排9辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，得出小货车的辆数，进而得出w与a的函数关系；
（3）根据运往甲地的物资不少于132吨，则16a+10（9﹣a）≥132即可得出a的取值范围，进而得出最佳方案．
【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得
16x+10（20﹣x）＝260，
解得：x＝10，
则20﹣x＝10．
答：大货车用10辆，小货车用10辆．
（2）由题意得出：
w＝720a+800（10﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]＝70a+13150，
则w＝70a+13150（0≤a≤9且为整数）．
（3）由16a+10（9﹣a）≥132，
解得a≥7．
又∵0≤a≤9，
∴7≤a≤9且为整数．
∵w＝70a+13150，k＝70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a＝7时，w最小，最小值为W＝70×7+13150＝13640．
答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、2辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地．最少运费为13640元．
四、解答题（本大题共4道题，其中23，24每题8分，25，26每题10分，共36分）
23．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，如图，利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝120°，则∠OBA＝30°，∠AOP＝60°，再根据切线的性质得到∠OAP＝90°，则可计算出∠P＝30°，从而得到AB＝AP；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OPA中利用含30度的直角三角形三边的关系得到r+＝2r，然后求出r即可得到⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，
而OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOP＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABP＝∠P，
∴AB＝AP；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△OPA中，∵∠P＝30°，
∴OP＝2OA，
即r+＝2r，解得r＝，
∴⊙O的直径为2．
24．（8分）如图，一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与反比例函数y＝（x＞0）相交于点C（2，m）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△PFD∽△CED，则，而PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6），利用S△COP＝S△COD﹣S△POD，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+3的图象与坐标轴相交于点A（﹣2，0），
∴﹣2k1+3＝0，解得k1＝，
∴一次函数为：y＝x+3，
∵一次函数y＝x+3的图象经过点C（2，m）．
∴m＝×2+3＝6，
∴C点坐标为（2，6），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，
∴k2＝2×6＝12，
∴反比例函数为：y＝；
（2）作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，
∴CE∥PF，
∴△PFD∽△CED，
∴，
∵PD：CP＝1：2，C点坐标为（2，6），
∴PD：CD＝1：3，CE＝6，
∴＝，
∴PF＝2，
∴P点的纵坐标为2，
把y＝2代入y2＝求得x＝6，
∴P（6，2），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
把C（2，6），P（6，2）代入得，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8，
令y＝0，则x＝8，
∴D（8，0），
∴OD＝14，
∴S△COP＝S△COD﹣S△POD＝×8×6﹣＝16．
25．（10分）随着《流浪地球》的热播，其同名科幻小说的销量也急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次增购该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
①直接写出网店销售该科幻小说每天的销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
②网店决定每销售1套该科幻小说，就捐赠a（0＜a＜7）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得的最大利润为1960元，求a的值．
【分析】（1）设该科幻小说第一次购进m套，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列函数关系式即可；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，
①若0＜a＜6，则30，则当x＝35+a时，w取得最大值，解方程得到a1＝2，a2＝58，于是得到a＝2；
②若6＜a＜7，则38＜35a，则当30≤x≤38时，w随x的增大而增大；解方程得到a＝，但6＜a＜7，故舍去．于是得到结论．
【解答】解：（1）设该科幻小说第一次购进m套，
则＝，
∴m＝1000，
经检验，当m＝1000时，m（m+500）≠0，则m＝1000是原方程的解，
答：该科幻小说第一次购进1000套；
（2）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．
w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）
对称轴为x＝35+a，
①若0＜a＜6，则30，则当x＝35+a时，w取得最大值，
∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10×（35+a）+500]＝1960
∴a1＝2，a2＝58，
又0＜a≤6，则a＝2；
②若6＜a＜7，则38＜35a，则当30≤x≤38时，w随x的增大而增大；
∴当x＝38时，w取得最大值，则（38﹣20﹣a）（﹣10×38+500）＝1960，
∴a＝，但6＜a＜7，故舍去．
综上所述，a＝2．
26．（10分）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，解方程即可求得点A和点B的坐标；令x＝0，求得y值，即可求得点C的坐标；
（2）设点D坐标为，用d表示出OE、DE的长；用待定系数法求得直线BC解析式，用d表示出点F的坐标及DF的长；根据OE＝4DF列方程，解得点D的坐标，即可其肚饿各线段的长；由图可知，四边形DOBF的面积等于△AED和△BEF的面积之差，计算即可；
（3）求得抛物线的对称轴；以BD为平行四边形的边或对角线分类计算：若BD为边，画出相应的图形，根据平移的性质得到点M的横坐标，代入抛物线的解析式求纵坐标．①BD∥MN，四边形BMND是平行四边形；②BD∥MN，四边形BDMN是平行四边形；③以BD为对角线作不出满足条件的平行四边形．
【解答】解：（1）当时，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
当x＝0时，，
∴C（0，﹣2）；
（2）∵点D是第一象限内抛物线上的点，
∴设点D坐标为，
∵DE⊥x轴于点E，
∴OE＝d，．
设直线BC解析式为y＝kx﹣2，把点B代入得：4k﹣2＝0，
解得：，
∴直线BC：，
∵DE交BC于点F，
∴，
∴，
∵OE＝4DF，
∴，
解得：d1＝0（舍去），d2＝5，
∴，，
∴，，BE＝OE﹣OB＝5﹣4＝1，
∴；
（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线：，
∴xN＝1；
①如图1，BD∥MN，四边形BMND是平行四边形．
∴DN∥BM，DN＝BM，
∴DN向下平移个单位，向左平移1个单位可得BM，
∴xM＝xN﹣1＝0，
∴M（0，﹣2）；
②如图2，BD∥MN，四边形BDMN是平行四边形．
∴DM∥BN，DM＝BN，
∴BN向上平移个单位，向右平移1个单位可得DM，
∴xM＝xN+1＝2，
∴M（2，﹣2）；
③由图可知，以BD为对角线作不出满足条件的平行四边形．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（2，﹣2）．
甲
乙
丙
丁
平均分
9.8
9.3
9.2
9.8
方差
1.5
3.2
3.3
6.8
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
甲
乙
丙
丁
平均分
9.8
9.3
9.2
9.8
方差
1.5
3.2
3.3
6.8
车 型
运往地
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650