2021年天津市河北区中考数学结课质检试卷

2021年天津市河北区中考数学结课质检试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）3tan30°的值等于（　　）

A．1 B． C． D．2

3．（3分）如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

4．（3分）二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）

A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 

C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）

5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根．则m的取值范围是（　　）

A．m≤1且m≠0 B．m≥﹣1且m≠0 C．m≤1 D．m≥﹣1

6．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（　　）

A．7m B．6m C．5m D．4m

7．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．1

8．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π

9．（3分）若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　）

A． B．2 C． D．1

10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（　　）

A．14 B．20 C．24 D．30

12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴的交点分别为（﹣3，0）（1，0），且函数与y轴交点在（0，﹣1）的下方，结合图象给出下列结论：

①abc＜0；

②b2﹣4ac＜4a；

③当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是﹣b≤y≤6b；

④5a﹣b+2c＜﹣1．

其中，正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

二、填空题；本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是　   　．

14．（3分）小明掷一枚质地均匀的硬币8次，正面向上的概率为　   　．

15．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则相似比为　   　．

16．（3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围　   　．

17．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝　   　．

18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是　   　．

三、解答题：本大共6个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（8分）解方程：x2+2x﹣2＝0．

20．（10分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．

参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．

21．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．

22．（12分）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

（Ⅰ）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

23．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；

（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；

（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．

①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；

②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．

2021年天津市河北区中考数学结课质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断．

【解答】解：A、图形不是中心对称图形；

B、图形不是中心对称图形；

C、图形不是中心对称图形；

D、图形是中心对称图形；

故选：D．

2．（3分）3tan30°的值等于（　　）

A．1 B． C． D．2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．

【解答】解：3tan30°＝3×＝．

故选：C．

3．（3分）如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据棱柱的三视图的画法得出答案．

【解答】解：从正面看底面为正六边形的直六棱柱，

“正对的面”看到的是长方形的，

而左右两个侧面，由于与“正面”有一定的角度，

因此看到的是比“正面”稍“窄”的长方形，所以选项C中的图形符合题意，

故选：C．

4．（3分）二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）

A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 

C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）

【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【解答】解：∵二次函数y＝（x+4）2+5，

∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），

故选：D．

5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根．则m的取值范围是（　　）

A．m≤1且m≠0 B．m≥﹣1且m≠0 C．m≤1 D．m≥﹣1

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x﹣9＝0有两个实数根，

∴，

解得：m≥﹣1且m≠0．

故选：B．

6．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（　　）

A．7m B．6m C．5m D．4m

【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度．

【解答】解：如图；

AD＝6m，AB＝21m，DE＝2m；

由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：

，即 ，

解得：BC＝7m，

故树的高度为7m．

故选：A．

7．（3分）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．1

【分析】根据勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝3，

所以，sinB＝＝．

故选：B．

8．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π

【分析】根据弧长公式计算．

【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．

故选：C．

9．（3分）若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　）

A． B．2 C． D．1

【分析】明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，根据勾股定理即可求得结果．

【解答】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．

∵正方形的外接圆半径为2，

∴正方形的对角线长为4，

∴正方形的边长为＝2，

故选：B．

10．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【分析】连接AD，根据圆周角定理得出∠BCD＝∠A，∠ADB＝90°，再求出答案即可．

【解答】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵圆周角∠BCD和∠A都对着，

∴∠BCD＝∠A，

∵∠BCD＝25°，

∴∠A＝25°，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝65°，

故选：D．

11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（　　）

A．14 B．20 C．24 D．30

【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．

【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，

∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，

∴OE⊥AC，OF⊥BC，

∴四边形OECF为正方形，

∵⊙O的半径为2，BC＝5，

∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，

∴在Rt△ABC中，

∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，

解得x＝10，

∴△ABC的周长为12+5+13＝30．

故选：D．

12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与x轴的交点分别为（﹣3，0）（1，0），且函数与y轴交点在（0，﹣1）的下方，结合图象给出下列结论：

①abc＜0；

②b2﹣4ac＜4a；

③当﹣2≤x≤3时，y的取值范围是﹣b≤y≤6b；

④5a﹣b+2c＜﹣1．

其中，正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

【分析】根据二次函数图象过（﹣3，0）（1，0），与y轴交点在（0，﹣1）的下方分别判断．

【解答】解：①开口向上，a＞0，对称轴在y轴左侧知b＞0，与y轴交点在负半轴得c＜0，故abc＜0，①正确；

②二次函数图象过（﹣3，0）（1，0），代入可得，

解得a＝﹣c，b＝﹣c，

∴b2﹣4ac﹣4a＝（﹣c）2﹣4•（﹣c）•c﹣4•（﹣c）＝c（c+1），

∵函数与y轴交点在（0，﹣1）的下方，

∴c+1＜0，且c＜0，

∴c（c+1）＞0，即b2﹣4ac﹣4a＞0，

∴b2﹣4ac＞4a，

故②错误；

③∵a＝﹣c，b＝﹣c，

∴y＝﹣cx2﹣cx+c，

∴抛物线对称轴是x＝﹣1，顶点为（﹣1，c），

∴当﹣2≤x≤3时，y最小为c，

∵b＝﹣c，

∴当﹣2≤x≤3时，y最小值时﹣2b，

故③错误；

④∵a＝﹣c，b＝﹣c，

∴5a﹣b+2c＝﹣c+c+2c＝c，

∵函数与y轴交点在（0，﹣1）的下方，

∴c＜﹣1，即5a﹣b+2c＜﹣1，

故④正确；

故选：C．

二、填空题；本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

13．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，则点B的坐标是　（﹣4，3）　．

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

【解答】解：∵点A（4，﹣3）与点B关于原点对称，

∴点B的坐标是（﹣4，3）．

故答案为：（﹣4，3）．

14．（3分）小明掷一枚质地均匀的硬币8次，正面向上的概率为　　．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：小明掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上的概率为，

故答案为：．

15．（3分）若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则相似比为　1：2　．

【分析】根据相似三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4＝，

∴相似比＝＝＝1：2．

故答案为：1：2．

16．（3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则m的取值范围　m＜1　．

【分析】根据反比例函数的性质，可得出1﹣m＞0，从而得出m的取值范围．

【解答】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，

∴1﹣m＞0，

解得m＜1，

故答案为m＜1．

17．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝　1　．

【分析】根据x轴上点的，纵坐标是0，列出方程求解即可．

【解答】解：∵抛物线的顶点在x轴上，

∴y＝＝＝0，解得c＝1．

故答案为：1．

18．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点．连接CF，将线段CF逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是　　．

【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短；

【解答】解：如图，作射线BG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴CB＝CD，∠BCD＝90°，

∵∠FCG＝∠DCB＝90°，

∴∠BCG＝∠DCF，

∵CG＝CF，

∴△CBG≌△CDF，

∴∠CBG＝∠CDF，

∵∠CDF是定值，

∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，

根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，

此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝2m，

在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，

∴1＝m2+4m2，

∴m＝（负根已经舍弃），

∴EG的最小值为，

故答案为．

三、解答题：本大共6个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19．（8分）解方程：x2+2x﹣2＝0．

【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

【解答】解：原方程化为：x2+2x＝2，

x2+2x+1＝3

（x+1）2＝3，

x+1＝±

x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．

20．（10分）如图，小明在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高．现测得树顶C处的俯角为37°．树底D处的俯角为45°，测试点A的高度AB为20米．请你帮助小明计算树的高度（精确到0.1米）．

参考数据：sin37°≈0.602，cos37°≈0.799，tan37°≈0.754．

【分析】过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则在图中得到两个直角三角形，利用三角函数定义分别计算出ED和EC，求差即可．

【解答】解：过点C作CE垂直点A所在的水平线于点E，则CE⊥AE，

在Rt△ADE中，

∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠ADE＝45°＝∠EAD，

∴AE＝DE＝AB＝20，

在Rt△ACE中，

∵∠AED＝90°，∠EAC＝37°，

∴tan∠EAC＝，

∴CE＝AE•tan37°≈20×0.754≈15.1（米），

∴CD＝ED﹣CE＝4.9（米）．

答：树的高度约为4.9米．

21．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．

【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；

（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．

【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

又∵OD∥BC，

∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，

∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．

∵OA＝OD，

∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，

∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；

（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．

∵OE⊥AC，

∴AE＝EC，

又∵OA＝OB，

∴OE＝BC＝．

又∵OD＝AB＝2，

∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．

22．（12分）某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：

（Ⅰ）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

【分析】（Ⅰ）由40（1+20%）即可得出最低销售单价，根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；

（Ⅱ）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．

【解答】解：（Ⅰ）40（1+20%）＝48（元），

设y＝kx+b，

根据题意得：，

解得：，

∴y＝﹣x+80，

根据题意得：，且x为正整数，

∴0＜x≤32，x为正整数，

∴y＝﹣x+80（0≤x≤32，且x为正整数）；

（Ⅱ）设所获利润为P元，

根据题意得：P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，

即P是x的二次函数，

∵a＝﹣1＜0，

∴P有最大值，

∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，

∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．

23．（12分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A'BO′．点A，O旋转后的对应点为A'，O'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA'的长；

（Ⅱ）如图②．若α＝45°，求点O'的坐标；

（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果即可）．

【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理可得出答案；

（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，则可得出答案；

（3）画出图形，得出MN的最大值和最小值，则可得出答案．

【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），

∴AO＝3，OB＝4，

∴AB＝＝＝5，

∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，

∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，

∴AA'＝＝＝5；

（2）如图②，若α＝45°，则∠CBO'＝90°，过点O'作O'C⊥OB于点C，

则∠CO'B＝90°，

∴BC＝CO'，

∵把△ABO绕点B逆时针旋转45°，得△A'BO′，

∴OB＝OB'＝4，

∴BC＝CO'＝4×＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2，

∴O'（2，4﹣2）；

（3）如图③中，过点O作OH⊥AC，

则OH＝，

观察图形可知，MN的最小值＝OM﹣ON＝﹣1＝，

MN的最大值＝NM′＝ON+OM′＝1+4＝5．

∴MN的取值范围是MN≤5．

24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．

①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；

②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．

【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；

（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；

②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．

【解答】解：（1）∵顶点为（3，2），

∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．

又∵抛物线过点（0，11），

∴a（0﹣3）2+2＝11，

∴a＝1．

∴y＝（x﹣3）2+2；

（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，

①分情况讨论：

若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），

由对称性可知：（x+3x）＝1，解得x＝，

故点A的坐标为（，0），

将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝﹣1+3﹣m，

解得m＝

若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），

由对称性可知：（x﹣3x）＝1，

解得x＝﹣1，

故点A的坐标为（﹣1，0），

同理可得m＝6，

综上：m＝或m＝6；

②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．

又∵当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，

∴结合图象，得，

∴﹣2≤n≤3．