高中数学人教版新课标A选修4-52.绝对值不等式的解法教案

课    题：　第03课时    含有绝对值的不等式的证明

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）                    （2）

（3）                      （4）

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？

实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？

显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例1、证明 （1），                    （2）。

证明（1）如果那么所以

如果那么所以

 （2）根据（1）的结果，有，就是，。

         所以，。

例2、证明 。

例3、证明 。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

例4、已知 ，求证

证明       （1）

，

∴                                   （2）

由（1），（2）得：

例5、已知 求证：。

证明  ，∴，

由例1及上式，。

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

四、练习：

1、已知求证：。

2、已知求证：。

五、作业：

链接：不等式的图形

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。

1．解不等式。

题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点。

首先在数轴上找到点，，（如图）。

                  -1    0     1   2   3

从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。

现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。

由可得

再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。

由可得从而不等式的解为

2．画出不等式的图形，并指出其解的范围。

先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：

     ，，.

其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。

同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。

探究：利用不等式的图形解不等式

    1. ;    2．

                              A组

（1）；（2）

6．已知 求证：

7．已知 求证：

B组

*****8．求证 

*****9．已知  求证：

10．若为任意实数，为正数，求证：

    （，而）