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高中人教版新课标A第一章 常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学演示ppt课件
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这是一份高中人教版新课标A第一章 常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学演示ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了真命题，常见误区等内容，欢迎下载使用。
充分条件、必要条件(1)前提:“若p,则q”形式的命题为_______.(2)条件:p⇒q.(3)结论:p是q的_____条件,q是p的_____条件.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )
【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分条件.(2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为﹁p⇐﹁q,所以﹁p是﹁q的必要条件.(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.答案:(1)√ (2)× (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的 条件.(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件.
【解析】(1)由题意知p⇒q,q⇒r,故p⇒r,所以p是r的充分条件.答案:充分(2)当a>0,b>0时,显然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分条件答案:充分(3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以q⇒p,即p是q的必要条件.答案:必要
【要点探究】知识点 充分条件与必要条件1.对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.
2.对必要条件的两点说明(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
【微思考】(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗?提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.(2)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件?提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件.
【即时练】1.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的 条件,“x∈B”是“x∈A”的 条件.2.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?
【解析】1.因为A⊆B,由子集的定义知x∈A⇒x∈B,故“x∈A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件.答案:充分 必要2.(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充分也是必要条件.(2)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.
【题型示范】类型一 充分条件与必要条件的判断【典例1】(1)(2014·广州高二检测)已知:p:x>1;q:x>2;则p是q的( )A.充分条件 B.必要条件C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确
(2)下列各题中,p是q的什么条件?①p:α= ;q:csα= ;②p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.
【解题探究】1.题(1)中“若x>1,则x>2”,此命题正确吗?逆命题呢?2.题(2)①命题“若α= ,则csα= ”是真命题吗?逆命题呢?②若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程x+1=0?
【探究提示】1.命题“若x>1,则x>2”不正确,如x=1.5满足x>1,但x>2不成立;逆命题是正确的.2.①命题“若α= ,则csα= ”是真命题,但逆命题为假命题.②若x满足方程(x+1)(x-2)=0,则x不一定满足方程x+1=0;如x=2满足方程(x+1)(x-2)=0,但不满足x+1=0.
【自主解答】(1)选B.因为x>1 x>2,但x>2⇒x>1,所以p q,但q⇒p,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(2)①因为α= ⇒csα= ,但csα= α= ,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件?【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则x=y”及逆命题是否成立,原命题成立p是q的充分条件,逆命题成立p是q的必要条件.【解析】由于|x|=|y| x=y,比如x=-1,y=1时,|x|=|y|,但x≠y;但x=y⇒|x|=|y|,故p q,但q⇒p.所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
【补偿训练】“m= ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的 条件.【解析】当m= 时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即m= 或m=-2,因此,m= 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.答案:充分条件但不是必要
类型二 充分条件与必要条件的应用【典例2】(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= .(2)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件,那么x=1是x2+ax+2=0的什么条件,x=1是方程x2+ax+2=0的根吗?2.题(2)中若不等式4x+p<0与x2-x-2>0的解集分别为A,B,那么根据条件判断A与B有何关系?【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件,且x=1是方程x2+ax+2=0的根.2.若4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件,则A⊆B.
【自主解答】(1)由x2+ax+2=0是x=1的必要条件,知x=1是方程x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3.答案:-3(2)由x2-x-2>0⇒x>2或x<-1;4x+p<0⇒x<- ,当- ≤-1,即p≥4时,x<- ≤-1⇒x<-1⇒x2-x-2>0,故当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.
【延伸探究】本例(2)中若换为:是否存在实数p使4x+p<0是x2-x-2>0的必要条件?如果存在,求出p的范围,若不存在,请说明理由.【解析】由于x2-x-2>0 4x+p<0,所以不存在实数p使4x+p<0是x2-x-2>0的必要条件.
【方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.
【变式训练】(2014·赤峰高二检测)已知“x＞k”是“＜1”的充分条件,则k的取值范围是_______.【解析】由 ＜1得, ＜0,即 ＞0，解得x＞2或x＜-1.又“x＞k”是“ ＜1”的充分条件，故k≥2.答案：［2,+∞)
【补偿训练】已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值.【解析】p:x∈{x|x2+x-6=0},即p:x∈{2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以{x|mx+1=0} {2,-3}.所以当{x|mx+1=0}=∅时成立,即m=0;
当{x|mx+1=0}≠∅时，x=当 时， 当 时, 所以 或 或m=0.
【拓展类型】用集合法判断充分条件与必要条件【备选例题】(1)p:A={x|x是正方形}，q:B={x|x是菱形}，则p是q的________条件.(2)下列各题中，p是q的什么条件？①p:A={x|x(x-1)＜0}，q:B={x|0＜x＜3}.②p:A={x|1＜2x＜2},q:
【解析】(1)因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，所以p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要(2)①由集合A得，0＜x＜1，所以A B，所以p是q的充分不必要条件.②由集合A得，0＜x＜1，由集合B得所以B A，所以p是q的必要不充分条件.
【方法技巧】从集合的包含关系看充分条件、必要条件 若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为:①若P⊆Q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若p是q的充分条件,即p⇒q,相当于P⊆Q,即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了——有它就行;为使x∈P成立,必须要使x∈Q——缺它不可.
【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误【典例】(2014·成都高二检测)已知P={x|a-4
【防范措施】1.集合关系中等号的处理在已知两集合间的关系求参数的值或范围时,等号问题常有以下两种处理方法:一是借助数轴分析法,二是假设等号成立求出字母的值,再验证其是否符合题意.如本例中a-4≤1,a+4≥3都能够取到等号.2.转化思想的应用在由充分和必要条件转化为集合间的关系时,要分清是包含关系还是真包含关系,如本例应是Q P.
【类题试解】已知p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分条件但不是必要条件,则实数m的取值范围为_______.
充分条件、必要条件(1)前提:“若p,则q”形式的命题为_______.(2)条件:p⇒q.(3)结论:p是q的_____条件,q是p的_____条件.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )(2)若p是q的充分条件,则﹁p是﹁q的充分条件.( )(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )
【解析】(1)正确.若p是q的必要条件,即p⇐q,所以q是p的充分条件.(2)错误.若p是q的充分条件,即p⇒q,其逆否命题为﹁p⇐﹁q,所以﹁p是﹁q的必要条件.(3)错误.“对顶角相等”的逆否命题为“不相等的两个角不是对顶角”,所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件.答案:(1)√ (2)× (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的 条件.(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件.
【解析】(1)由题意知p⇒q,q⇒r,故p⇒r,所以p是r的充分条件.答案:充分(2)当a>0,b>0时,显然ab>0成立,故“a>0,b>0”是“ab>0”的充分条件答案:充分(3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以q⇒p,即p是q的必要条件.答案:必要
【要点探究】知识点 充分条件与必要条件1.对充分条件的理解充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,所以“x=6”是“x2=36成立”的充分条件.
2.对必要条件的两点说明(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:推出关系为q⇒p,若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
【微思考】(1)若p是q的充分条件,p是惟一的吗?提示:不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件.(2)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件?提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件.
【即时练】1.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的 条件,“x∈B”是“x∈A”的 条件.2.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)p是q的什么条件?
【解析】1.因为A⊆B,由子集的定义知x∈A⇒x∈B,故“x∈A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件.答案:充分 必要2.(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充分也是必要条件.(2)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.
【题型示范】类型一 充分条件与必要条件的判断【典例1】(1)(2014·广州高二检测)已知:p:x>1;q:x>2;则p是q的( )A.充分条件 B.必要条件C.既不充分也不必要条件 D.以上答案均不正确
(2)下列各题中,p是q的什么条件?①p:α= ;q:csα= ;②p:(x+1)(x-2)=0;q:x+1=0.
【解题探究】1.题(1)中“若x>1,则x>2”,此命题正确吗?逆命题呢?2.题(2)①命题“若α= ,则csα= ”是真命题吗?逆命题呢?②若实数x满足方程(x+1)(x-2)=0,是否还一定满足方程x+1=0?
【探究提示】1.命题“若x>1,则x>2”不正确,如x=1.5满足x>1,但x>2不成立;逆命题是正确的.2.①命题“若α= ,则csα= ”是真命题,但逆命题为假命题.②若x满足方程(x+1)(x-2)=0,则x不一定满足方程x+1=0;如x=2满足方程(x+1)(x-2)=0,但不满足x+1=0.
【自主解答】(1)选B.因为x>1 x>2,但x>2⇒x>1,所以p q,但q⇒p,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(2)①因为α= ⇒csα= ,但csα= α= ,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.②因为(x+1)(x-2)=0 x+1=0,但x+1=0⇒(x+1)(x-2)=0,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
【方法技巧】充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
【变式训练】已知p:|x|=|y|,q:x=y,则p是q的什么条件?【解题指南】解答本题的关键是判断命题“若|x|=|y|,则x=y”及逆命题是否成立,原命题成立p是q的充分条件,逆命题成立p是q的必要条件.【解析】由于|x|=|y| x=y,比如x=-1,y=1时,|x|=|y|,但x≠y;但x=y⇒|x|=|y|,故p q,但q⇒p.所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
【补偿训练】“m= ”是直线(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的 条件.【解析】当m= 时显然两直线垂直,而当两直线垂直时需(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即m= 或m=-2,因此,m= 是两直线垂直的充分条件但不是必要条件.答案:充分条件但不是必要
类型二 充分条件与必要条件的应用【典例2】(1)若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= .(2)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解题探究】1.题(1)中若x2+ax+2=0是x=1的必要条件,那么x=1是x2+ax+2=0的什么条件,x=1是方程x2+ax+2=0的根吗?2.题(2)中若不等式4x+p<0与x2-x-2>0的解集分别为A,B,那么根据条件判断A与B有何关系?【探究提示】1.x=1是x2+ax+2=0的充分条件,且x=1是方程x2+ax+2=0的根.2.若4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件,则A⊆B.
【自主解答】(1)由x2+ax+2=0是x=1的必要条件,知x=1是方程x2+ax+2=0的根,代入解得a=-3.答案:-3(2)由x2-x-2>0⇒x>2或x<-1;4x+p<0⇒x<- ,当- ≤-1,即p≥4时,x<- ≤-1⇒x<-1⇒x2-x-2>0,故当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.
【延伸探究】本例(2)中若换为:是否存在实数p使4x+p<0是x2-x-2>0的必要条件?如果存在,求出p的范围,若不存在,请说明理由.【解析】由于x2-x-2>0 4x+p<0,所以不存在实数p使4x+p<0是x2-x-2>0的必要条件.
【方法技巧】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),再进行求解.
【变式训练】(2014·赤峰高二检测)已知“x＞k”是“＜1”的充分条件,则k的取值范围是_______.【解析】由 ＜1得, ＜0,即 ＞0，解得x＞2或x＜-1.又“x＞k”是“ ＜1”的充分条件，故k≥2.答案：［2,+∞)
【补偿训练】已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值.【解析】p:x∈{x|x2+x-6=0},即p:x∈{2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以{x|mx+1=0} {2,-3}.所以当{x|mx+1=0}=∅时成立,即m=0;
当{x|mx+1=0}≠∅时，x=当 时， 当 时, 所以 或 或m=0.
【拓展类型】用集合法判断充分条件与必要条件【备选例题】(1)p:A={x|x是正方形}，q:B={x|x是菱形}，则p是q的________条件.(2)下列各题中，p是q的什么条件？①p:A={x|x(x-1)＜0}，q:B={x|0＜x＜3}.②p:A={x|1＜2x＜2},q:
【解析】(1)因为正方形一定是菱形，菱形不一定是正方形，所以p是q的充分不必要条件.答案：充分不必要(2)①由集合A得，0＜x＜1，所以A B，所以p是q的充分不必要条件.②由集合A得，0＜x＜1，由集合B得所以B A，所以p是q的必要不充分条件.
【方法技巧】从集合的包含关系看充分条件、必要条件 若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的包含关系来判断充分条件、必要条件为:①若P⊆Q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若p是q的充分条件,即p⇒q,相当于P⊆Q,即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了——有它就行;为使x∈P成立,必须要使x∈Q——缺它不可.
【易错误区】弄错两个集合间的关系而致误【典例】(2014·成都高二检测)已知P={x|a-4
【防范措施】1.集合关系中等号的处理在已知两集合间的关系求参数的值或范围时,等号问题常有以下两种处理方法:一是借助数轴分析法,二是假设等号成立求出字母的值,再验证其是否符合题意.如本例中a-4≤1,a+4≥3都能够取到等号.2.转化思想的应用在由充分和必要条件转化为集合间的关系时,要分清是包含关系还是真包含关系,如本例应是Q P.
【类题试解】已知p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分条件但不是必要条件,则实数m的取值范围为_______.
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