高中人教版新课标A二 圆内接四边形的性质与判定定理备课课件ppt

这是一份高中人教版新课标A二 圆内接四边形的性质与判定定理备课课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了性质定理1，性质定理2，题型一，题型二，题型三等内容，欢迎下载使用。
1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其应用.2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题.3.了解反证法在证明问题中的应用.
【做一做1】 四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于(　　)A.25°B.75°C.115°D.155°解析:∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∵∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°.答案:D
【做一做2】 如图,四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,若∠ADC=32°,则∠CBE等于(　　)A.32°B.58°C.64°D.148°解析:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.答案:A
归纳总结1.利用这两个性质定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.2.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形等.
3.圆内接四边形判定定理
【做一做3】 下列四边形的四个顶点共圆的是(　　)A.梯形B.矩形C.平行四边形D.菱形答案:B
归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理.
【做一做4】 如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:四边形ABCD内接于圆.证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴四边形ABCD内接于圆.
1.圆内接四边形的性质定理与判定定理剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角如图,圆内接四边形ABCD的内角∠BAD的两个补角∠1和∠2称为圆内接四边形的外角.因为∠BAD和∠C两角相对,所以∠C称为∠1与∠2的内对角,且它们满足∠BAD+∠C=180°,∠1=∠2=∠C.(2)判定定理与性质定理的内在联系性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2与判定定理的推论互为逆定理.
2.与圆内接四边形有关的相似三角形剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融为一体,做出连贯反应.基本图形1基本图形2基本图形3
基本图形1:圆的任意内接四边形ABCD,有△AED∽△BEC,△DEC∽△AEB.基本图形2:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,其中相似三角形有△AED∽△BEC,△AEB∽△DEC,△CDF∽△ABF,△ACF∽△BDF.基本图形3:四边形ABCD内接于☉O,AD,BC的延长线交于点F,AB为直径,其中相似三角形有△DEC∽△AEB,△FDC∽△FBA,Rt△AFC∽Rt△BFD∽Rt△AED∽Rt△BEC.
【例1】 如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆.分析:连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,先利用中点证明∠FED=∠C,再利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.
证明:如图,连接PF.∵AP⊥BC,F为AC的中点,∴PF是Rt△APC斜边上的中线.∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,∴EF∥CD,ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形.∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.∴E,D,P,F四点共圆.
反思判定四点共圆的方法:①如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;②如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆(如本题);④与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆.
【变式训练1】 在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是垂足.求证:E,B,C,F四点共圆.
证明:如图,连接EF,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴A,E,D,F四点共圆.∴∠1=∠2.∵AD是BC边上的高,∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°.∴∠BEF+∠C=180°.∴B,E,F,C四点共圆.
【例2】 如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.分析:由∠BEF=∠DEG,可证明△EBF∽△EDG,又∠BFE与∠CFG是对顶角,问题获证.
证明:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EBF=∠ADE.又EF是∠AED的平分线,则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB=∠DGF.又∵∠EFB=∠CFG,∴∠CFG=∠DGF.反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.
【变式训练2】 如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.求证:(1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;(2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则∠3=∠4,∠5=∠6.∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD.故CE=DF.(2)由(1)得∠3=∠4,∠5=∠6.又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD,∴AD=AE,∴∠1=∠2,即∠DBA=∠CBA.
易错点:错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错
【例3】 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于(　　)A.20°　　　　　B.40°C.80°　　　　　D.100°错解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角,得∠CBE=∠COA=40°.故选B.错因分析:上述解答错误的原因是对性质定理2的理解不透彻,不能准确理解“外角等于它的内角的对角”的含义.所谓的“内角的对角”通常是指圆周角.