高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数习题

 www.ks5u.com章末检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝的值域为N，则M∩N等于(　　)

A．M     B．N

C．[0,4)      D．[0，＋∞)

2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为(　　)

A．[2,8]    B．[0,8]

C．[1,8]    D．[－1,8]

3．已知f(3x)＝log2，则f(1)的值为(　　)

A．1     B．2

C．－1    D.

4．等于(　　)

A．7     B．10

C．6     D.

5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

6．比较、23.1、的大小关系是(　　)

A．23.1<<  B．<23.1<

C．<<23.1  D．<<23.1

7．式子的值为(　　)

A.     B.

C．2     D．3

8．已知ab>0，下面四个等式中：

①lg(ab)＝lga＋lgb；

②lg＝lga－lgb；

③lg()2＝lg；

④lg(ab)＝.

其中正确命题的个数为(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

9．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是(　　)

A．0     B．1

C．2     D．3

11．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于(　　)

A．{x|x<－2或x>4}  B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}  D．{x|x<－2或x>2}

12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)

A．f(－4)>f(1)     B．f(－4)＝f(1)

C．f(－4)<f(1)     D．不能确定

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．

14．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．

15．函数y＝的单调递增区间为______________．

16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．

(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；

(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．

18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．

20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，

(1)若t＝log2x，求t的取值范围；

(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．

21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)求使f(x)>0的x的取值范围．

22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求b的值；

(2)判断函数f(x)的单调性；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

章末检测(B)

1．C　[由题意，得M＝{x|x<4}，N＝{y|y≥0}，

∴M∩N＝{x|0≤x<4}．]

2．B　[当x＝0时，ymin＝30－1＝0，

当x＝2时，ymax＝32－1＝8，

故值域为[0,8]．]

3．D　[由f(3x)＝log2，

得f(x)＝log2，f(1)＝log2＝.]

4．B　[＝2·＝2×5＝10.]

5．B　[由100a＝5，得2a＝lg5，

由10b＝2，得b＝lg2，∴2a＋b＝lg5＋lg2＝1.]

6．D　[∵＝1.5－3.1＝()3.1，

＝2－3.1＝()3.1，

又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，

<<2，

∴()3.1<()3.1<23.1，故选D.]

7．A　[∵log89＝＝log23，

∴原式＝.]

8．B　[∵ab>0，∴a、b同号．

当a、b同小于0时①②不成立；

当ab＝1时④不成立，故只有③对．]

9．C　[y＝lg＝lg(x＋3)－1，

即y＋1＝lg(x＋3)．故选C.]

10．D　[分别作出y＝2x与y＝x2的图象．

知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交，故选D.]

11．B　[∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)>0，得x>2.又f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.]

12．A　[由f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a>1，而f(－4)＝a|－4＋1|＝a3，

f(1)＝a|1＋1|＝a2，

∵a3>a2，∴f(－4)>f(1)．]

13.

解析　∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，

则f(2＋log23)＝f(3＋log23)

＝＝()3·＝×＝.

14．－3

解析　∵>0，∴－3<x<3

∴f(x)的定义域关于原点对称．

∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

∴f(－2)＝－f(2)＝－3.

15．(－∞，1)

解析　函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，

令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，

所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，

所以(－∞，1)为函数y的递增区间．

16.　

解析　y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.

令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，

于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.

当t＝3时，ymin＝；

当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.

17．解　(1)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

则f(x)的反函数g(x)＝logax(a>0且a≠1)．

(2)∵g(x)≤loga(2－3x)，∴logax≤loga(2－3x)

若a>1，则，解得0<x≤，

若0<a<1，则，解得≤x<，

综上所述，a>1时，不等式解集为(0，]；

0<a<1时，不等式解集为[，)．

18．解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，

故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，

故值域为[－，0]．

(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．

记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；

当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，

过点(0，－1)，不成立；

当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，

过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．

故a的取值范围为(0，＋∞)．

19．解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，当1<x<时，x<1，∴logxx<0；

当x>时，x>1，∴logxx>0.

即当1<x<时，f(x)<g(x)；

当x>时，f(x)>g(x)．

20．解　(1)∵t＝log2x，≤x≤4，

∴log2≤t≤log24，

即－2≤t≤2.

(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)

＝(log2x)2＋3log2x＋2，

∴令t＝log2x，

则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，

∴当t＝－即log2x＝－，x＝时，

f(x)min＝－.

当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.

21．解　(1)由对数函数的定义知>0，

故f(x)的定义域为(－1,1)．

(2)∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)(ⅰ)对a>1，loga>0等价于>1，①

而从(1)知1－x>0，故①等价于1＋x>1－x又等价于x>0.

故对a>1，当x∈(0,1)时有f(x)>0.

(ⅱ)对0<a<1，loga>0等价于0<<1，②

而从(1)知1－x>0，故②等价于－1<x<0.

故对0<a<1，当x∈(－1,0)时有f(x)>0.

综上，a>1时，x的取值范围为(0,1)；

0<a<1时，x的取值范围为(－1,0)．

22．解　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0⇒b＝1.∴f(x)＝.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

设x1<x2则f(x1)－f(x2)＝＝.

因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2，

∴－>0.

又(＋1)(＋1)>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

(3)因为f(x)是奇函数，

从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.

即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，

从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－.