数学必修1第三章 函数的应用综合与测试同步练习题

 www.ks5u.com章末检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)

A．1     B．2

C．3     D．4

2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为(　　)

A．每个110元   B．每个105元

C．每个100元   D．每个95元

3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A.y＝log2t      B．y＝

C．y＝   D．y＝2t－2

4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：

(1)如果不超过200元，则不给予优惠；

(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；

(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．

某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)

A．413.7元   B．513.7元

C．548.7元   D．546.6元

5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－，＋∞)    B．(1，＋∞)

C．[－，1]     D．(－∞，－]

6．设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b](　　)

A．至少有一实根  B．至多有一实根

C．没有实根   D．必有唯一实根

7．方程x2－(2－a)x＋5－a＝0的两根都大于2，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<－2    B．－5<a<－2

C．－5<a≤－4   D．a>4或a<－4

8．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是：f1(x)＝，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝   B．f2(x)＝x

C．f3(x)＝log2(x＋1)    D．f4(x)＝log8(x＋1)

9．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2)      B．(2,3)

C．(e,3)      D．(e，＋∞)

10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则(　　)

A．a<α<b<β   B．α<a<b<β

C．a<α<β<b   D．α<a<β<b

11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为(　　)

A．－    B．－

C．－8    D．8

12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟以后温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度保持不变．

其中正确的说法是(　　)

A．①④    B．②④

C．②③    D．①③

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______________．

14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长与宽的和为20m，则仓库容积的最大值为________．

15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．

16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．

18．(12分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值；

(2)画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下：

C(n)＝这里n表示定购书的数量，C(n)是定购n本书所付的钱数(单位：元)．

若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？

20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．

21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．

22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：

①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；

②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；

③每户每月的定额损耗费a不超过5元．

(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；

(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．

章末检测(B)

1．A　[在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．

可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．]

2．D　[设售价为x元，则利润

y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)

＝－20(x2－190x＋8800)

＝－20(x－95)2＋4500.

∴当x＝95时，y最大为4500元．]

3．C　[当t＝4时，y＝log24＝2，y＝＝－2，y＝＝7.5，y＝2×4－2＝6.

所以y＝适合，

当t＝1.99代入A、B、C、D4个选项，y＝的值与表中的1.5接近，故选C.]

4．D　[购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]

5．C　[令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2<0，

∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要

，即，解得－≤a≤1.]

6．D　[∵f(a)·f(b)<0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，

又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即f(x)＝0在[a，b]上必有唯一实根．]

7．C　[由题意知，解得－5<a≤－4.]

8．B　[在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f2(x)＝x增长的最快．]

9．B　[f(2)＝ln2－＝ln2－1<1－1＝0，

f(3)＝ln3－>1－＝>0.故零点所在区间为(2,3)．]

10．B　[设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象可得α<a<b<β.]

11．C　[∵x>0时f(x)单调且为偶函数，

∴|2x|＝||，即2x(x＋4)＝±(x＋1)．

∴2x2＋9x＋1＝0或2x2＋7x－1＝0.

∴共有四根．

∵x1＋x2＝－，x3＋x4＝－，

∴所有x之和为－＋(－)＝－8.]

12．B　[因为温度y关于时间t的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t增加一个单位增量Δt，则y随相应的增量Δy越来越小，而5分钟后y关于t的增量保持为0.故选B.]

13．(1，＋∞)

解析　由f(x)＋x－a＝0，

得f(x)＝a－x，

令y＝f(x)，y＝a－x，如图，

当a>1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，

∴a>1.

14．300m3

解析　设长为xm，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，

则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0<x<20，

由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V的最大值．

∴x＝10时，V最大＝300(m3)．

15．(0,1)

解析　函数f(x)＝的图象如图所示，

该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．

16．[－1,1]

解析　分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．

17．解　令f(x)＝4x3＋x－15，

∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数．

∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，

∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，

∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，

∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．

18．解　(1)∵f(x)＝＋m是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，∴＋m＝－－m.

∴＋m＝－m，

∴＋2m＝0.

∴－2＋2m＝0，∴m＝1.

(2)作出直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象，如图．

①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；

②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

③当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．

19．解　设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n≤30，n∈N*.

①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60－n≤59，

出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60＝2n＋300；

②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60－n≤48，

出版公司赚的钱数

f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；

③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60－n≤35，

出版公司赚的钱数f(n)＝11×60－5×60＝360.

∴f(n)＝

∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；

当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；

当25≤n≤30时，f(n)＝360.

故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．

20．解　若实数a满足条件，

则只需f(－1)f(3)≤0即可．

f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，

所以a≤－或a≥1.

检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，

所以f(x)＝x2＋x.

令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.

(2)当f(3)＝0时a＝－，

此时f(x)＝x2－x－.

令f(x)＝0，即x2－x－＝0，

解得，x＝－或x＝3.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.

综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．

21．解　当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．

当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：

①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：

或，

解得1≤a≤5或a＝.

②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时

，即.

解得a≥5或a<.

综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)．

22．解　(1)依题意，得y＝

其中0<a≤5.

(2)∵0<a≤5，∴9<9＋a≤14.

由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．

将和分别代入②，

得

③－④，得n＝6.

代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.

又三月份用水量为2.5立方米，

若m<2.5，将代入②，得a＝6m－13，

这与a＝6m－16矛盾．

∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．

将代入①，得11＝9＋a，

由解得

∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.