高中数学人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系巩固练习

这是一份高中数学人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系巩固练习，共4页。

一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切C．相离 D．相交
2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝2x B．y＝2x－2
C．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2) D．y＝eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2eq \r(2)，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq \r(7)，求圆C的方程．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2eq \r(2) C.eq \r(7) D．3
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为eq \f(|2m|,\r(2))＝eq \r(2)|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m,y＋2＝－x－1))
得AB的中点N的坐标N(－eq \f(m＋1,2)，eq \f(m－1,2))，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝eq \r(|CA|2－|CN|2)＝eq \r(9－\f(m＋32,2))，
|ON|＝eq \r(－\f(m＋1,2)2＋\f(m－1,2)2).
所以9－eq \f(3＋m2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m＋1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,2)))2，解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－eq \f(3,4)x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋eq \f(3,4)x)2＝(eq \f(5,4)x＋1)2＋9.
所以当x＝－eq \f(4,5)时，|PC|eq \\al(2,min)＝9.
所以|AP|min＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2).
即四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2).
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－12＋y－12＝4，,3x＋4y＋8＝0.))
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－7＝0,x＋y－4＝0))的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝eq \r(3－12＋1－22)＝eq \r(5)<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤eq \r(5)，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4eq \r(5).
此时，kCM＝－eq \f(1,2)，kl＝－eq \f(2m＋1,m＋1).
∵l⊥CM，∴eq \f(1,2)·eq \f(2m＋1,m＋1)＝－1，
解得m＝－eq \f(3,4).
∴当m＝－eq \f(3,4)时，取到最短弦长为4eq \r(5).