人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系精练

 www.ks5u.com学业分层测评（二十五）

(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　)

A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)

C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)

【解析】　P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．

【答案】　B

2．点P到原点O的距离是(　　)

A. B．1

C.   D.

【解析】　|PO|＝＝1.

【答案】　B

3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)

A．10x＋2y＋10z－37＝0

B．5x－y＋5z－37＝0

C．10x－y＋10z＋37＝0

D．10x－2y＋10z＋37＝0

【解析】　由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.

【答案】　A

4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为(　　)

A．3 B．3

C．2 D．2

【解析】　|AB|＝

＝

＝，

当a＝－1时，|AB|min＝＝3.

【答案】　B

5．如图4­3­3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　)

图4­3­3

A.a B.a

C．a  D.a

【解析】　由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，

∴E，则|EF|＝

＝a.

【答案】　B

二、填空题

6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.

 【导学号：09960148】

【解析】　点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，

∴x＝1，y＝0，z＝－1，

∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.

【答案】　0

7．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．

【解析】　S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2 ＝2，

S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，

故三棱锥的表面积S＝6＋2.

【答案】　6＋2

三、解答题

8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．

【解】　|AB|＝

＝，

|BC|＝＝，

|AC|＝＝.

因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

所以△ABC为等腰直角三角形．

9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图4­3­4所示的空间直角坐标系．

图4­3­4

(1)写出点D，N，M的坐标；

(2)求线段MD，MN的长度；

(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．

【解】　(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．

(2)|MD|＝＝，

|MN|＝＝.

(3)在xDy平面上，

设点P的坐标为(2y，y,0)，y∈[0,1]，

则|MP|＝

＝

＝.

因为y∈[0,1]，所以当y＝时，

|MP|取最小值，即.

[自我挑战]

10．在平面直角坐标系Oxyz中，M与N关于xOy面对称，OM与平面xOy所成的角是60°，若|MN|＝4，则|OM|＝(　　)

A．4 B．1

C. D．2

【解析】　由题意知MN⊥平面xOy，设垂足为H，

则|MH|＝|NH|＝|MN|＝2，

又OM与平面xOy所成的角为60°，

则|OM|sin 60°＝|MH|.

∴|OM|＝＝.

【答案】　C

11．已知直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图4­3­5所示，建立空间直角坐标系．

图4­3­5

(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；

(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．

【解】　(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，

由|PA|＝|AB|得

＝.

所以m2＝15.

因为m∈[0,4]，所以m＝，

故平面ABB1A1内的点P(1,2，)，

使得△ABP为等边三角形．

(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，

所以|QF|＝|AB|，又F(1,2,0)，

则

＝，

整理得＝.

所以n2＝4.

因为n∈[0,4]，所以n＝2.

故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．