数学必修2第一章 空间几何体综合与测试课后测评

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阶段通关训练(一)

(60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是　(　　)

A.长方体　　　　　　　　 B.圆柱

C.四棱锥       D.四棱台

【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示.

2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是　(　　)

A.两个圆锥拼接而成的组合体

B.一个圆台

C.一个圆锥

D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥

【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.

3.已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为　(　　)

A. a2　　　   B.a2　　　   C.a2　　　   D.a2

【解析】选C.直观图面积S′与原图面积S具有关系：S′=S.因为

S△ABC=(2a)2=a2，所以S△A′B′C′=×a2=a2.

【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________.

【解析】根据直观图和原图形的关系可知原图形的面积为×2×2=2.

答案：2

4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是　(　　)

A.     B.     C.     D.1

【解析】选B.由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则V=××1×1×2=..Com]

【补偿训练】已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是　(　　)

A.   B.6    C.8    D.6

【解析】选D.如图，根据三视图间的关系可得BC=2，所以侧视图中VA′==2，所以三棱锥侧视图面积S△VBC=×2×2=6，故选D.

5.(2016·蚌埠高二检测)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为　(　　)

A.π    B.π    C.π    D.

【解析】选A.设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意解得所以圆锥的高为h==，V=πr2h=π×12×=π.

6.(2016·雅安高二检测)设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是

(　　)

A.π    B.π     C.π     D.π

【解析】选B.正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为a，6a2=24， a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为1，内切球的体积：V=π.

二、填空题(每小题5分，共20分)

7.棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________.

【解题指南】根据面积比等于相似比的平方建立关于高的等式求解.

【解析】设棱台的高为x，则有=，解之，得x=11.

答案：11

8.(2016·绍兴高二检测)已知几何体的三视图(如图)，则该几何体的体积为________，表面积为________.

【解析】根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为2的正四棱锥，其高h==，所以体积V=×22×=，表面积S=4××2×+22=4+4.

答案：　4+4

9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.

【解析】如图所示，由V=Sh得，S=4，即正四棱柱底面边长为2.

所以A1O1=，A1O=R=.

所以S球=4πR2=24π.

答案：24π

10.圆台的底面半径分别为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________.

【解析】圆台的高h==2，所以体积V=(R2+Rr+r2)h=π.

答案：π

三、解答题(共4小题，共50分)

11.(12分)如图几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积.

【解析】圆锥侧面积为S1=πrl=15π，圆台的侧面积为S2=π(r+r′)l=10π，圆台的底面面积为S底=πr′2=4π，所以表面积为：S=S1+S2+S底=15π+10π+4π=29π；圆锥的体积V1=πr2h1=12π，圆台的体积V2=πh2(r2+rr′+r′2)=π，所以体积为：V=V1+V2=12π+π.

12.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.

(1)试判断该几何体是什么几何体？

(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.

(3)求出该几何体的体积.

【解析】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.

(2)该几何体的侧视图如图.

其中AB=AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=a，AD是正六棱锥的高，即AD=a，所以该平面图形的面积为·a·a=a2.

(3)设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，

则S=6×a2=a2，

所以V=×a2×a=a3.

13.(13分)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.

【解析】S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2

=(4+60)π.

V=V圆台-V圆锥=π(+r1r2+)h-πh′

=π(25+10+4)×4-π×4×2=π.

14.(13分)(2016·湖北实验中学高一检测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=

30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小.

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

【解析】(1)连接OM，则OM⊥AB，

设OM=r，则OB=-r，

在△BMO中，sin∠ABC===，

所以r=，所以S=4πr2=π.

(2)因为△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，

所以AC=1，

所以V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×12×-π=.

【能力挑战题】

(2016·葫芦岛高一检测)如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱.

(1)试用x表示圆柱的侧面积.

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大.

【解题指南】(1)由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积.

(2)由(1)求出的圆柱侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出圆柱侧面面积的最大值.

【解析】(1)设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：

由图得，=，即r=2-，

所以S圆柱侧=2πrx=2πx=4πx-x2.

(2)由(1)知当x=-=3时，这个二次函数有最大值为6π，

所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2.

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