高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后复习题

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课后提升作业 十三

直线与平面垂直的判定

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：

①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；

②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；

③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；

④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.

其中正确说法的个数为　(　　)

A.1    B.2   C.3   D.4

【解析】选B.①正确，因为n∥β，α∥β，

所以在α内有与n平行的直线，又m⊥α，则m⊥n；

②错误，α∥β，m⊥α⇒m⊥β，

因为m⊥n，则可能n⊂β；

③错误，因为m⊥n，α∥β，m∥α，则可能n⊂β且m⊂β；

④正确，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因为m∥n，则n⊥β.

2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是　

(　　)

A.平行

B.垂直相交

C.垂直但不相交

D.相交但不垂直

【解析】选C.因为ABCD为菱形，所以DB⊥AC，

又MC⊥平面ABCD，所以MC⊥BD.

又AC∩MC=C，所以BD⊥平面ACM.

又AM⊂平面AMC，所以BD⊥AM，又BD与AM不共面，所以MA与BD垂直但不相交.

【延伸探究】本题若将条件 “菱形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，加上条件“MA⊥BD”，判断平行四边形ABCD的形状.

【解析】因为MC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以MC⊥BD，又BD⊥MA，

MA∩MC=M，

所以BD⊥平面MAC，又AC⊂平面MAC，

所以BD⊥AC，故平行四边形ABCD为菱形.

3.(2016·南昌高二检测)如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，

∠BAC=90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥底面ABC，垂足为点H，则点H在　(　　)

A.直线AC上      B.直线AB上

C.直线BC上      D.△ABC内部

【解析】选B.作C1H⊥AB，因为∠BAC=90°，且BC1⊥AC，所以AC⊥平面ABC1，所以AC⊥C1H，因为AB∩AC=A，所以C1H⊥平面ABC，即点H在底面的垂足在AB边上.

4.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为　(　　)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.无法确定

【解析】选B.因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC，

又AC⊥PC，PB∩PC=P，

所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，

所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形.

5.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于　(　　)

A.    B.   C.   D.

【解析】选A.如图，设AB=a，

则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.

因为=，

即××a×ah

=×a2×2a，

解得h=a.

所以sinα==.

6.如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是　(　　)

A.AC=BC

B.VC⊥VD

C.AB⊥VC

D.S△VCD·AB=S△ABC·VO

【解析】选B.因为VA=VB，AD=BD，

所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，

AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.

又VO∩VD=V，VO⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，

所以AB⊥平面VCD，

又CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，

所以AB⊥VC，AB⊥CD.

又AD=BD，所以AC=BC(线段垂直平分线的性质)，因为VO⊥平面ABC，

所以VV-ABC=S△ABC·VO.

因为AB⊥平面VCD，

所以VV-ABC=VB-VCD+VA-VCD

=S△VCD·BD+S△VCD·AD

=S△VCD·(BD+AD)

=S△VCD·AB，

所以S△ABC·VO=S△VCD·AB，

即S△VCD·AB=S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确.

7.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是　(　　)

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

【解析】选C.因为SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以连接BD，则BD⊥AC，又AC⊥SD，可得AC⊥SB，故A正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故B正确；因为AB∥CD，所以∠SCD为AB与SC所成角，∠SAB为SA与DC所成角，显然∠SCD≠∠SAB，故C不正确.由AC⊥平面SBD，记AC与BD交于O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成角，∠CSO为SC与平面SBD所成角，显然∠ASO=∠CSO.

8.(2016·温州高二检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是　(　　)

A.CC1与B1E是异面直线

B.AC⊥平面ABB1A1

C.AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

D.A1C1∥平面AB1E

【解析】选C.A选项，ABC-A1B1C1是三棱柱，则CE∥B1C1，所以，CEB1C1是一个平面，CC1与B1E共面；B选项，因为AC与AB的夹角是60°，所以AC和平面ABB1A1不垂直；C选项，E是BC的中点，则AE⊥BC，又因为BB1⊥平面ABC，所以AE⊥BB1，又BC∩BB1=B，所以AE⊥平面BCC1B1，所以AE⊥B1C1；D选项，A1C1∥AC，AC和平面AB1E相交，所以A1C1与平面AB1E不平行.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)

答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)

10.(2016·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________.

【解析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，

因为A1C1⊥B1D1，

A1C1⊥BB1，

故A1C1⊥平面BB1D1D，所以A1B在平面BB1D1D内射影为OB，

所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成角.

设正方体棱长为a，则A1B=a，

A1O=A1C1=a，

所以sin∠A1BO===，

所以∠A1BO=30°.

答案：30°

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·山东高考)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.

(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.

(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.

【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,

所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD,

所以AC⊥FB.

(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,

又EF∥DB,所以GI∥BD,

又GI∩HI=I,BD∩BC=B,

所以,平面GHI∥平面ABC,

因为GH⊂平面GHI,

所以GH∥平面ABC.

12. (2014·湖北高考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ.

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

【解题指南】(1)通过证明FP∥AD1，得到BC1∥FP，根据线面平行的判定定理即可得证.

(2)证明BD⊥平面ACC1，得出BD⊥AC1，进而得MN⊥AC1，同理可证PN⊥AC1，根据线面垂直的判定定理即可得出直线AC1⊥平面PQMN.

【证明】(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.

而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

【能力挑战题】

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

(1)求证：CD⊥平面ABD.

(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.

【解题指南】(1)利用线面垂直的判定定理证明.

(2)分别求出△ABM的面积和高CD，继而求出体积.

【解析】(1)因为AB⊥平面BCD，

CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD.

又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，

AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD.

(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，

因为AB=BD=1，所以S△ABD=.

因为M是AD的中点，

所以S△ABM=S△ABD=.

由(1)知，CD⊥平面ABD，

所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1，

因此三棱锥A-MBC的体积

VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.

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