数学必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂检测题

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课后提升作业 十五

直线与平面垂直的性质

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.已知直线a，b和平面M，N，且a⊥M，则下列说法正确的是　(　　)

A.b∥M⇒b⊥a　　　　　　 B.b⊥a⇒b∥M

C.N⊥M⇒a∥N     D.a⊄N⇒M∩N≠∅

【解析】选A.对于A，如图1所示：过直线b作平面N与平面M相交于直线l，由直线与平面平行的性质定理可知：b∥l，又因为a⊥M，l⊂M，所以a⊥l，所以b⊥a，A正确.选项B，C均少考虑了直线在面内的情况，分别如图2，3所示，均错误；对于D，用排除法，如图4所示，M∥N，D错误.

2.(2016·太原高二检测)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是　(　　)

A.若m∥α，n∥α，则m∥n　　  B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α   D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α

【解析】选B.对于A，若m∥α，n∥α，则m，n相交、平行或异面，不对；对于B，若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；对于D，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，D不正确.

3.(2016·温州高二检测)设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题不正确的是　(　　)

A.m⊥α，m⊥β，则α∥β   B.m∥n，m⊥α，则n⊥α

C.m⊥α，n⊥α，则m∥n    D.m∥α，α∩β=n，则m∥n

【解析】选D.A选项正确，两平面垂直于同一直线，两平面平行；B选项正确，两平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；C选项正确，两直线垂直于同一平面，两直线平行；D选项错误，由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线的面与已知面相交，则交线与已知直线平行，由于m和β的位置关系不确定，不能确定线线平行.

4.(2016·吉安高一检测)如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有　(　　)

A.1条　　　　 B.2条　　　　 C.3条　　　 D.4条

【解析】选D.因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC，又因为AC⊥BO，PO∩BO=O，所以AC⊥平面PBD，因此，平面PBD中的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直.

5.如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的　(　　)

A.AC⊥β

B.AC⊥EF

C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上

D.AC与α，β所成的角相等

【解析】选D.因为AB⊥α，CD⊥α，所以AB∥CD，所以A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以显然有EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.

6.(2015·朔州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于　(　　)

A.AC   B.BD   C.A1D   D.A1D1

【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1，B1D1的中点，设O是AC，BD的交点，则EO⊥平面ABCD，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，CO∩EO=O，所以BD⊥

面COE，所以BD⊥CE.

7.正方体ABCD-A1B1C1D1中E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中错误的是　

(　　)

A.AC⊥BE

B.B1E∥平面ABCD

C.三棱锥E-ABC的体积为定值

D.B1E⊥BC1

【解析】选D.对于A，因为在正方体中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1=D，

所以AC⊥平面BB1D1D，

因为BE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BE，所以A正确.

对于B，因为B1D1∥平面ABCD，所以B1E∥平面ABCD成立，即B正确.

对于C，三棱锥E-ABC的底面△ABC的面积为定值，锥体的高BB1为定值，所以锥体体积为定值，即C正确.

对于D，因为D1C1⊥BC1，所以B1E⊥BC1错误.

8.(2016·福州高一检测)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P=A1Q=x，0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是　(　　)

A.l∥平面ABCD

B.l⊥AC

C.平面MEF与平面MPQ不垂直

D.当x变化时，l不是定直线

【解析】选D.因为A1P=A1Q=x，所以PQ∥B1D1，又E，F分别是AB，AD的中点，故EF∥BD，从而PQ∥EF，而EF⊄平面MPQ，PQ⊂平面MPQ，故EF∥平面MPQ，且平面MEF∩平面MPQ=l，从而EF∥l，而l⊄平面ABCD，EF⊂平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故A正确；由EF∥BD，AC⊥BD，所以AC⊥EF，又EF∥l，所以AC⊥l，故B正确；设A1C1∩B1D1=H，连接MH，易证MH⊥平面MEF，而MH⊄平面MPQ，故平面MPQ与平面MEF不垂直，故C正确，综上，不正确的为D项.

【补偿训练】如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是(　　)

A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4

【解析】选C.因为PA⊥☉O所在的平面，BC⊂☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正确；又因为AF⊂平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正确；而PB⊂平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB，故③正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，显然不成立，故④不正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下四个结论：

①D1C∥平面A1ABB1；②A1D1与平面BCD1相交；

③AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.

其中正确结论的序号是________.

【解析】对于①，因为平面A1ABB1∥平面DCC1D1，而D1C⊂平面DCC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1，即①正确；对于②，因为A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，所以②错误；对于③，只有AD⊥D1D，而AD与平面BDD1内其他直线不垂直，所以③错误；对于④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以④正确.

答案：①④

10.(2016·杭州高二检测)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号).

①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.

【解析】将三角形ADE沿AE折起后几何体如图所示.

①取DE，EC的中点分别为H，G，连接MH，HG，GN，则四边形MNGH为平行四边形，所以MN∥GH，而GH⊂平面DEC，MN⊄平面DEC，所以MN∥平面DEC，所以①正确.

②因为MN∥GH，而AE⊥EC，AE⊥DE，

EC∩DE=E，所以AE⊥平面EDC，

所以AE⊥GH，故AE⊥MN，②正确.

③因为GH与EC相交，而AB∥EC，故无论D折到何位置AB都不平行于MN，③错.

④当EC⊥ED时，因为CE⊥AE，所以CE⊥平面AED，

所以CE⊥AD，所以存在某个位置，使EC⊥AD，所以④正确.

答案：①②④

【补偿训练】AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线VC垂直于☉O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填写正确结论的序号).

(1)直线DE∥平面ABC.

(2)直线DE⊥平面VBC.

(3)DE⊥VB.

(4)DE⊥AB.

【解析】因为AB是☉O的直径，点C是☉O上的动点(点C不与A，B重合)，

所以AC⊥BC，

因为VC垂直于☉O所在的平面，

所以AC⊥VC，又BC∩VC=C，.Com]

所以AC⊥平面VBC.

因为D，E分别是VA，VC的中点，

所以DE∥AC，又DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

DE⊥平面VBC，DE⊥VB，

DE与AB所成的角为∠BAC是锐角，故DE⊥AB不成立.由以上分析可知(1)(2)(3)正确.

答案：(1)(2)(3)

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·重庆高一检测)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，点E是PC的中点.

证明：(1)CD⊥AE.

(2)PD⊥平面ABE.

【解题指南】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义得出线线垂直.

(2)要证明线面垂直，则先证明直线垂直于平面内的两条相交直线.

【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.

又因为AC⊥CD，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，

所以CD⊥AE.

(2)由PA=AB=BC，∠ABC=60°，

得△ABC是等边三角形，故AC=PA.

因为点E是PC的中点，所以AE⊥PC.

由(1)知：AE⊥CD，且PC∩CD=C，

所以AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.

又因为PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥AB.

又AB⊥AD，且PA∩AD=A，

所以AB⊥平面PAD，

故AB⊥PD.又因为AB∩AE=A，

所以PD⊥平面ABE.

【拓展延伸】遵循从“低维”到“高维”的转化原则

在解决线面、面面平行、垂直判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行、垂直”到“线面平行、垂直”，再到“面面平行、垂直”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.

12.(2016·雅安高二检测)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=3，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.

(1)求证：A1C⊥平面BCDE.

(2)过点E作截面EFH∥平面A1CD，分别交CB于F，A1B于H，求截面EFH的面积.

【解析】(1)因为CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，所以DE⊥平面A1CD.

又因为A1C⊂平面A1CD，所以A1C⊥DE.

又A1C⊥CD，DE∩CD=D，所以A1C⊥平面BCDE.

(2)过点E作EF∥CD交BC于F，

过点F作FH∥A1C，

交A1B于H，连接EH.则截面EFH∥平面A1CD.

因为四边形EFCD为矩形，所以EF=CD=1，CF=DE=4，从而FB=2，HF=A1C=.

因为A1C⊥平面BCDE，FH∥A1C，

所以HF⊥平面BCDE，所以HF⊥FE.

所以S△HFE=.

【能力挑战题】

如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O.

(1)证明：AB⊥平面ODE.

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.

【解析】(1)如图，

因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB，连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE.

(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角.

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.

不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=.

在Rt△DOE中，DO=DE·sin60°=，

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO===，

故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.

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