人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试测试题

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阶段通关训练(二)

 (60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.(2016·吉安高二检测)下列说法中正确的是　(　　)

A.三点确定一个平面

B.两条直线确定一个平面

C.两两相交的三条直线一定在同一平面内

D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内

【解析】选D.选项A中，缺条件“不共线”；选项B中，须指明这两条直线的位置关系，比如两条异面直线就不能确定一个平面；选项C中，两两相交的三条直线当相交于同一点时，它们可以不在同一平面内，比如正方体中同一顶点的三条棱.

2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么　(　　)

A.PA=PB>PC

B.PA=PB<PC

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

【解析】选C.因为M为AB的中点，△ACB为直角三角形，所以BM=AM=CM，又PM⊥平面ABC，所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA=PB=PC.

3.(2016·成都高二检测)如图，已知三条长度相等的线段AB，BC，CD，若AB⊥BC，BC⊥CD，且直线AB与CD所成角大小为60°，则直线AD与BC所成角大小为　(　　)

A.90°　　　　B.60°　　　　C.45°　　　　D.30°

【解析】选C.如图，过B作BECD，连接DE，AE，则四边形BCDE为正方形，∠ABE为直线AB与CD所成角，∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE，∠ABE=60°，所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC，所以AB⊥DE，又BE⊥DE，AB∩BE=B，所以DE⊥平面ABE，所以DE⊥AE，所以△AED为等腰直角三角形，所以∠ADE=

45°.

【拓展延伸】求异面直线所成角的方法

求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角，主要途径有：利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等，如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形，达到平移的目的.

【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为　(　　)

A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°

【解析】选C.由题可知，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相等，连接A1B，BD，∠BA1D为所求角，设正方体的棱长为1，在△A1DB中，三条边长均为，故∠BA1D=60°.

4.(2016·北京高二检测)已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是　(　　)

A.若α⊥β，m⊂β，则m⊥α    B.若α∥β，m⊥α，则m⊥β

C.若α∥β，m∥α，则m∥β    D.若m∥α，m∥β，则α∥β

【解析】选B.若α⊥β，m⊂β，则直线m与平面α相交，或直线m在平面α内，或直线m与平面α平行，所以选项A不正确；若α∥β，m∥α，则直线m与平面β平行，或直线m在平面β内，所以选项C不正确.若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确.

5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论不正确的是　(　　)

A.CF⊥平面PAD     B.DF⊥平面PAF

C.CF∥平面PAB     D.CD∥平面PAF

【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；DF⊥AF，DF⊥PA，由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，故A中，CF⊥平面PAD不正确.

6.已知矩形ABCD，AB=1，BC=，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中　(　　)

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

【解析】选B.A错误.理由如下：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，

若直线AC与直线BD垂直，则可得BD⊥平面ACE，

于是BD⊥CE，而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.

B正确.理由：翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时，平面ABC⊥平面BCD，此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC，于是有AB⊥CD.故B正确.

C错误.理由如下：若直线AD与直线BC垂直，则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD，于是BC⊥AC，但是AB<BC，在△ABC中∠ACB不可能是直角.故直线AD与直线BC不垂直.由以上分析显然D错误.

二、填空题(每小题5分，共20分)

7.下列说法：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]

③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.

其中正确说法的序号是________.

【解析】①中b可能在α内；②a与b还可能异面或者垂直；③a还可能与α内的直线异面或垂直.

答案：④

8.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.

【解析】当点E是SA的中点时，连接AC.

设AC与BD的交点为O，连接EO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是AC的中点.

又E是SA的中点，所以OE是△SAC的中位线.

所以OE∥SC.因为SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，

所以SC∥平面EBD.

答案：点E是SA的中点

9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则

①棱AB与PD所在直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCD的面积大于△PAB的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线.[来源:学科网]

以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)

【解析】由条件可得AB⊥平面PAD，

所以AB⊥PD，故①正确；

若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，

得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；

S△PCD=CD·PD，S△PAB=AB·PA，

由AB=CD，PD>PA知③正确；

由E，F分别是棱PC，PD的中点，

可得EF∥CD，又AB∥CD，

所以EF∥AB，故AE与BF共面，④错.

答案：①③

10.(2016·西宁高二检测)在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为________.

【解析】如图所示，取BD中点O，连接CO，MO，由已知条件BC=CD=1，所以BD⊥CO，由平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，所以CO⊥平面ABD，则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角，由AB⊥AD，所以BD=，则得到BC⊥CD，所以CO=BD=，MO=AD=，所以在Rt△COM中，CM==，所以sin∠CMO===.[来源:Z§xx§k.Com]

答案：

三、解答题(共4小题，共50分)

11.(12分)(2016·台州高二检测)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，PA=AD=a.

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：平面PMC⊥平面PCD.

【证明】(1)设PD的中点为点E，连接AE，NE，由点N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，所以DCAB，所以ENAB，又点M是AB的中点，所以ENAM，所以AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.

(2)因为PA=AD，所以AE⊥PD，又因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，而CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，因为PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD，因为MN∥AE，所以MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD.

【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示，平面四边形PACB中，∠PAB为直角，△ABC为等边三角形，现把△PAB沿着AB折起，使得△APB与△ABC垂直，且点M为AB的中点.

(1)求证：平面PAB⊥平面PCM.

(2)若2PA=AB，求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.

【解析】(1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为AB，又因为∠PAB为直角，所以AP⊥平面ABC，故AP⊥CM，又因为△ABC为等边三角形，点M为AB的中点，所以CM⊥AB，又因为PA∩AB=A，所以CM⊥平面PAB，又CM⊂平面PCM，所以平面PAB⊥平面PCM.

(2)假设PA=a，则AB=2a，再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC

=PA·S△MBC=hB·SPMC，在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得PM=a，在等边三角形ABC中，AB边上的高CM=a，而三角形PMC为直角三角形，故面积为

S△PMC=CM·PM=·a·a=a2.

又S△MBC=S△ABC=a2.所以a·a2=hB·a2.

故hB=a.[来源:学科网ZXXK]

所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值

sinθ===.

12.(12分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC.

(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.

【解析】(1)因为PA⊥底面ABC，

所以PA⊥BC.又∠BCA=90°，

所以AC⊥BC.

又因为AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC.

(2)因为DE∥BC，

又由(1)知，BC⊥平面PAC，

所以DE⊥平面PAC.

又因为AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

所以DE⊥AE，DE⊥PE.

所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.

因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，

所以∠PAC=90°.

所以在棱PC上存在一点E，

使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°，

故存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角.

13.(13分)(2016·杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，

(1)证明：BD⊥平面BCF.

(2)设二面角E-BC-D的平面角为α，求sinα.

(3)M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，所以FC⊥

面ABCD，FC⊥DB，在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，又FC∩BC=C，所以BD⊥

平面BCF.

(2)因为FC⊥平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥平面ABCD，又DB⊥BC，所以EB⊥BC，所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α，

所以sinα=sin∠EBD===.

(3)猜想DP=1.取ED，EC的四等分点P，Q，使得ED=4PD，EC=4QC，则PQ∥CD，PQ=CD=6，取BC中点N，连接MN，NQ，则MN∥CD，MN=(CD+AB)=6，所以PQ?MN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以MP∥QN，又因为MP⊄平面BCE，QN⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE.

14.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点.

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)求证：C1F∥平面ABE.

(3)求三棱锥E-ABC的体积.

【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，

BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，BB1∩BC=B，

所以AB⊥平面B1BCC1，

又AB⊂平面ABE，

所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别是A1C1，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG=AC.

因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，

所以FG∥EC1，且FG=EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形.

所以C1F∥EG.

又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，

所以C1F∥平面ABE.

(3)因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

所以AB==.

所以三棱锥E-ABC的体积

V=S△ABC·AA1

=×××1×2=.

【能力挑战题】

(2016·桂林高二检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=

90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.

(1)求证：AB⊥PE.

(2)求二面角A-PB-E的大小.

【解题指南】(1)连结PD，根据等边三角形三线合一可证得PD⊥AB，由中位线可得DE∥BC，即可得DE⊥AB，根据线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面PDE，从而可证得AB⊥PE.(2)由面面垂直的性质定理可证得PD⊥平面ABC，从而可证DE⊥PD，根据线面垂直的判定定理可证得DE⊥平面PAB，过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB.根据二面角的定义可知∠DFE即为所求，在△DEF中求∠DFE即可.

【解析】(1)连结PD，因为PA=PB，D为AB的中点，所以PD⊥AB.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC，又因为BC⊥AB，所以DE⊥AB.又PD∩DE=D，所以AB⊥平面PDE，因为PE⊂平面PDE，所以AB⊥PE.

(2)因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，所以PD⊥平面ABC，所以DE⊥PD.又ED⊥AB，PD∩AB=D，所以DE⊥平面PAB，

过D作DF垂直PB于F，连接EF，则EF⊥PB，

所以∠DFE为所求二面角的平面角，则：DE=，DF=，则tan∠DFE==，故二面角A-PB-E的大小为60°.

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