高中数学人教版新课标A必修2第四章 圆与方程综合与测试精练

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阶段通关训练(四)

 (60分钟　100分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为　(　　)

A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+(y+1)2=2

C.(x-1)2+(y-1)2=2

D.(x+1)2+(y+1)2=2

【解析】选B.设圆心坐标为(a，-a)，则=，即|a|=|a-2|，解得a=1，故圆心坐标为(1，-1)，半径r==，故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为　(　　)

A.4，-6，3     B.-4，6，3

C.-4，6，-3     D.4，-6，-3

【解析】选D.圆心为-，-，所以-=-2，-=3，所以D=4，E=-6，又R=，代入算得F=-3.

3.已知2a2+2b2=c2，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4的位置关系是　(　　)

A.相交但不过圆心   B.过圆心

C.相切      D.相离

【解题指南】利用圆心到直线ax+by+c=0的距离d与半径r比较.即可判断直线与圆的位置关系，至于直线ax+by+c=0是否过圆心，只需验证(0，0)是否满足直线方程.

【解析】选A.由已知圆：x2+y2=4的圆心到直线ax+by+c=0的距离是d=，又2a2+2b2=c2，

所以|c|=·，即=|c|，

所以d==.

又圆x2+y2=4的半径r=2，

所以d<r，故直线与圆x2+y2=4相交.

又圆心(0，0)代入直线ax+by+c=0得c=0，

所以a=b=0，不合题意，故此直线不过圆心.

4.过点(1，1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为

　(　　)

A.2    B.4   C.2     D.5

【解析】选B.弦心距最大为=，

此时|AB|的最小值为2=4.

5.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|=2，则实数x的值是　(　　)

A.-3或4       B.6或2

C.3或-4       D.6或-2

【解析】选D.由空间两点间的距离公式得

=2，解得x=6或x=-2.

6.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦长等于　(　　)

A.4   B.2    C.3     D.4

【解析】选D.公共弦方程为x-2y+6=0，圆x2+y2+2x-12=0的圆心为(-1，0)，半径r=，d=.

所以弦长=2×=4.

二、填空题(每小题5分，共20分)

7.(2016·兰州高一检测)若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是__________.

【解析】圆心到直线的距离为2，又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，结合图形(图略)可知，半径R的取值范围是1<R<3.

答案：(1，3)

8.若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y=1相切，则圆C的方程是________.

【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为圆C经过点(0，0)和点(4，0)，所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得|1-b|=r，故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2，将(0，0)代入解得b=-，r=，所以圆的方程为(x-2)2+=.

答案：(x-2)2+=

9.两个圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与C2：x2+y2-4x-2y+1=0的公切线的条数是________.

【解析】圆C1的圆心为C1(-1，-1)，半径r1=2，圆C2的圆心为C2(2，1)，半径r2=2.圆心距|C1C2|==，|r1-r2|<<r1+r2，

所以两圆相交，所以有两条公切线.

答案：2

10.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为________.

【解析】因为|PQ|=2×1×sin60°=，圆心到直线的距离d==，所以=，解得k=±.

答案：±

【一题多解】利用数形结合.如图所示，因为直线y=kx+1过定点(0，1)，而点(0，1)在圆x2+y2=1上，故不妨设P(0，1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ=

120°，所以∠QPO=30°，故∠PAO=60°，所以k=，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为-.

答案：±

三、解答题(共4小题，共50分)

11.(12分)设圆C的方程为x2+y2-4x-5=0，

(1)求该圆的圆心坐标及半径.

(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.

【解析】(1)将x2+y2-4x-5=0配方得：(x-2)2+y2=9.

所以圆心坐标为C(2，0)，半径为r=3.

(2)设直线AB的斜率为k.

由圆的几何性质可知：CP⊥AB，

所以kCP·k=-1.

又kCP==1，所以k=-1.

所以直线AB的方程为y-1=-(x-3)，

即：x+y-4=0.

12.(12分)已知圆C：(x-x0)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切，圆心C在直线l：x-3y=0上，且圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2，求圆C的方程.

【解析】圆C：(x-x0)2+(y-y0)2=R2(R>0)与y轴相切，则|x0|=R，　(1)

圆心C在直线l：x-3y=0上，则x0=3y0，　(2)

圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2，

则2=2.

把(1)(2)代入上式消去x0，y0得R=3，则x0=3，y0=1或x0=-3，y0=-1.

故所求圆C的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

13.(13分)已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x=0.

(1)m=1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？

(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？

【解析】(1)因为m=1，所以两圆的方程分别可化为：

C1：(x-1)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+y2=1.

两圆的圆心距d==2.

又因为r1+r2=3+1=4，r1-r2=3-1=2，

所以r1-r2<d<r1+r2，

所以圆C1与圆C2相交.

(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，

则d=<3-1，

即(m+1)2<0，显然不等式无解.

故不存在m使得圆C1与圆C2内含.

14.(13分)(2016·长沙高一检测)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.

【解析】(1)将圆C整理得(x+1)2+(y-2)2=2.

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y=kx，

所以圆心到切线的距离为=，即k2-4k-2=0，解得k=2±.

所以y=(2±)x.

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x+y-a=0，

所以圆心到切线的距离为=，即|a-1|=2，解得a=-1或3.

所以x+y+1=0或x+y-3=0.

综上所述，所求切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.

(2)因为|PO|=|PM|，

所以+=(x1+1)2+(y1-2)2-2，即2x1-4y1+3=0，即点P在直线l：2x-4y+3=0上.

当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，

所以直线OP的方程为：2x+y=0，

解方程组

得

所以P点坐标为.

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