人教版高中数学必修二检测：模块质量评估（B卷） Word版含解析

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模块质量评估（B卷）

 (第一至第四章)

(120分钟　150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　)

A.50π   B.100π   C.150π   D.200π

2.已知直线l过点P(,1),圆C:x2+y2=4,则直线l与圆C的位置关系是　(　　)

A.相交        B.相切

C.相交或相切      D.相离

3.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)

A.200+9π    B.200+18π

C.140+9π    D.140+18π

4.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=　(　　)

A.2　　　　  B.-2　　 　　C.4　　　　 D.1

5.(2016·潍坊高一检测)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是　(　　)

A.     B.-   C.2    D.-2

6.(2016·郑州高一检测)圆:x2+y2-4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是　(　　)

A.x+y+3=0      B.2x-y-5=0

C.3x-y-9=0      D.4x-3y+7=0

7.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=

　(　　)

A.-   B.1   C.2   D.

8.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是

　(　　)

A.V1比V2大约多一半

B.V1比V2大约多两倍半

C.V1比V2大约多一倍

D.V1比V2大约多一倍半

9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成的角为　(　　)

A.90°   B.45°   C.60°  D.30°

10.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是

　(　　)

A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α

B.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β

C.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β

D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α

11.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为　(　　)

A.    B.    C.     D.

12.(2016·聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)

A.2x+y-3=0      B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0      D.4x+y-3=0

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为　　　　.

14.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:

①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;

②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;

③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;

④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.

其中真命题的个数是　　　　.

15.(2016·大庆高一检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三种说法:

①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是.

其中正确的序号是　　　　(写出所有正确说法的序号).

16.(2016·杭州高一检测)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是　　　　.

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:

(1)AD应取多长?

(2)容器的容积为多大?

18.(12分)(2016·兰州高一检测)已知△ABC的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.

19.(12分)(2015·郑州高一检测)已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求圆的方程.

20.(12分)(2016·北京高一检测)某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.

(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.

(2)在直观图中,①证明:PD∥平面AGC;

②证明:平面PBD⊥平面AGC.

21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.

(1)求证:EF∥平面PAD.

(2)求证:平面PAH⊥平面DEF.

22.(12分)(2016·长春高一检测)已知点(0,1),(3+2,0),(3-2,0)在圆C上.

(1)求圆C的方程.

(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.

答案解析

1.A　设该长方体的外接球半径为R,

则4R2=32+42+52,即R=,故S球=4πR2=50π.

2.C　因为直线l过点P(,1),而点P在圆C:x2+y2=4上,故直线l和圆相交或相切.

3.A　由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因此该几何体的体积为V=·π·32×2+10×4×5=200+9π.

【补偿训练】(2014·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　(　　)

A.8-2π　　　　　　 B.8-π

C.8-      D.8-

【解题指南】结合三视图的特点可知,该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的.

B　截得该几何体的原正方体的体积为2×2×2=8;截去的圆柱(部分)底面半径为1,母线长为2,截去的两部分体积为(π×12×2)×2=π,故该几何体的体积为8-π.

4.A　因为直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以直线l1的倾斜角为.

而l1∥l2,所以,直线l2的倾斜角也为,又直线l2经过两点(2,1),(x,6),所以,x=2.

5.【解题指南】将直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标代入直线x+ky=0,即可求出k的值.

B　解方程组得则点(-1,-2)在直线x+ky=0上,得k=-.

6.C　AB的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2,-3),(3,0),则所求直线的方程为=,即3x-y-9=0.

7.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直求a的值.

C　因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.

8.D　设正方体的棱长为a,则正方体的体积为V2=a3,则球半径为a,球体积V1=πa3,则V1-V2=πa3-a3=a3≈1.72a3.

9.D　取BC的中点H,连接EH,FH,则∠EFH为所求,

可证△EFH为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,

从而可得∠EFH=30°.

10.D　选项A的已知条件中加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.

11.B　圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,

设圆心D(1,b),

由DA=DB得|b|=,解得b=,

所以圆心到原点的距离为

d==.

12.A　根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2.

13.【解析】由题意,圆心为(0,-1),又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,

所以S=4π()2=12π.

答案:12π

14.【解析】因为a⊥b,b⊥c,

所以a与c可能相交、平行、异面,故①错.

因为a,b异面,b,c异面,

则a,c可能异面、相交、平行,故②错.

由a,b相交,b,c相交,

则a,c可能异面、相交、平行,故③错.

同理④错,故真命题个数为0.

答案:0

15.【解析】取AC的中点E,连接DE,BE,

则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE⊥BE.

又DE=EC=BE,所以DC=DB=BC,

故△DBC是等边三角形.

又AC⊥平面BDE,

故AC⊥BD.

又VD-ABC=S△ABC·DE=××1×1×=,故③错误.

答案:①②

16.【解析】因为(-4+1)2+(-3+2)2=10<25,

所以点P在圆内.当l的斜率不存在时,l的方程为x=-4,将x=-4代入圆的方程,

得y=2或y=-6.

此时弦长为8.当l的斜率存在时,设l的方程为y+3=k(x+4),即kx-y+4k-3=0,

当弦长为8时,圆心到直线的距离为=3,则=3,

解得k=-.则直线l的方程为y+3=-(x+4),即4x+3y+25=0.

答案:4x+3y+25=0或x=-4

【补偿训练】若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为　　　　.

【解析】由题意知,圆心坐标为C(3,0),则kPC=-,由于MN与PC垂直,故MN的斜率为k=2,故弦MN所在的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

答案:2x-y-1=0

17.【解析】(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD=xcm,则OD=(72-x)cm.

由题意得

所以R=12,r=6,x=36,

所以AD=36cm.

(2)圆台所在圆锥的高H==12,

圆台的高h==6,小圆锥的高h'=6,

所以V容=V大锥-V小锥=πR2H-πr2h'

=504π.

18.【解析】设B(4y1-10,y1),

由AB中点在6x+10y-59=0上,

可得:6·+10·-59=0,

y1=5,所以B(10,5).

设A点关于x-4y+10=0的对称点为A'(x',y'),

则有⇒A'(1,7),

因为点A'(1,7),B(10,5)在直线BC上,

所以=,

故BC边所在直线的方程为2x+9y-65=0.

19.【解析】设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.

因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.①

解方程组

得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,

所以x1+x2=a+b,x1·x2=.

由弦长公式得·=4,

化简得(a-b)2=4.②

解①②组成的方程组,得a=2,b=4,

或a=-2,b=-4.

故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10,

或(x+2)2+(y+4)2=10.

20.【解析】(1)该几何体的直观图如图所示.

(2)如图,①连接AC,BD交于点O,连接OG,

因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.

又OG⊂平面AGC,PD⊄平面AGC,所以PD∥平面AGC.

②连接PO,由三视图,PO⊥平面ABCD,

所以AO⊥PO.

又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD.

因为AO⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.

21.【证明】(1)取CD中点N,连接FN,EN.

因为在△CPD中,F,N为中点,所以FN∥PD.

因为正方形ABCD中,E,N为中点,

所以EN∥AD,

因为EN⊂平面EFN,FN⊂平面EFN,EN∩FN=N,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,

所以平面EFN∥平面PAD,

因为EF⊂平面EFN,

所以EF∥平面PAD.

(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,

侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,因为DE⊂底面ABCD,所以DE⊥PA,

因为E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,

所以Rt△ABH≌Rt△DAE,则∠BAH=∠ADE,

所以∠BAH+∠AED=90°,则DE⊥AH,

因为PA⊂平面PAH,AH⊂平面PAH,PA∩AH=A,

所以DE⊥平面PAH,因为DE⊂平面EFD,

所以平面PAH⊥平面DEF.

22.【解析】(1)由题意可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.

则圆C的圆心为(3,1),半径长为=3.

所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.

(2)由消去y,

得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,

此时判别式Δ=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),

则有　　　　　　①

由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,②

由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.

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