高中数学人教版新课标A必修33.1.2概率的意义一课一练

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均匀随机数的产生

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．与均匀随机数特点不符的是(　　)

A．它是[0，1]内的任何一个实数

B．它是一个随机数

C．出现的每一个实数都是等可能的

D．是随机数的平均数

【解析】　A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．

【答案】　D

2．要产生[－3，3]上的均匀随机数y，现有[0，1]上的均匀随机数x，则y可取为(　　)

A．－3x B．3x　

C.6x－3 D．－6x－3

【解析】　法一：利用伸缩和平移变换进行判断；

法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.

【答案】　C

3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)

A. B．

C. D．

【解析】　由题意知所求的概率为P＝＝.

【答案】　A

4．一次试验：向如图3­3­12所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N粒，其中有m(m<N)粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为(　　)

图3­3­12

A. B．

C. D．

【解析】　设正方形的边长为2a，依题意，P＝＝，得π＝，故选D.

【答案】　D

5．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3­3­13所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)

图3­3­13

A. B．

C. D．

【解析】　设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.

【答案】　B

二、填空题

6．如图3­3­14，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．

图3­3­14

【解析】　∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，

∴＝＝，∴S阴＝.

【答案】　

7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________.

 【导学号：28750067】

【解析】　∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>，即所求概率为.

【答案】　

8．如图3­3­15，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．

图3­3­15

【解析】　∵图中梯形的面积为s＝××b＝ab，矩形的面积为S＝ab，

∴落在梯形内部的概率为：P＝＝＝.

【答案】　

三、解答题

9．箱子里装有5个黄球，5个白球，现在有放回地取球，求取出的是黄球的概率，如果用计算机模拟该试验，请写出算法．

【解】　P＝＝，用计算机模拟法时可认为0～1之间的随机数x与事件的对应是：当x在0～0.5时，确定为摸到黄球；当x在0.5～1之间时，确定为摸到白球．具体算法如下：第一步，用计数器n记录做了多少次摸球的试验，用计算器m记录其中有多少次显示的黄球，置n＝0，m＝0；

第二步，用函数RAND产生一个0～1的随机数x；

第三步，如果这个随机数在0～0.5之间，我们认为是摸到黄球，判断x是不是在0～0.5之间，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；

第四步，表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回第二步继续执行；否则，执行下一步；

第五步，摸到黄球发生的频率作为概率的近似值．

10．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0，100]上是等可能出现的．单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．

【解】　设某人两项的分数分别为x分、y分，

则0≤x≤100，0≤y≤100，

某人合格的条件是80＜x≤100，

80＜y≤100，x＋y＞170，

在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示)．

由图可知：0≤x≤100，0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10 000，

合格条件构成的区域面积为

S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－×10×10＝350，

所以所求概率为P＝＝.

该人合格的概率为.

[能力提升]

1．P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为(　　)

A.　 B．　　

C. D．

【解析】　设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0，2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得＋＝，故M轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.

【答案】　B

2．(2016·广州模拟)如图3­3­16，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为(　　)

图3­3­16

A. B．

C. D．

【解析】　由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)⇒⇒

那么S△ABC＝×10×10sin 75°＝×10×10×＝25(3＋)．

于是，豆子落在三角形ABC内的概率为＝＝.

【答案】　B

3．(2016·保定模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

【解析】　如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝.

事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，

根据几何概型概率公式得，点P与点O的距离大于1的概率P＝＝1－.

【答案】　1－

4．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？

【解】　记事件A＝{能赶上车}．

(1)利用计算机或计算器产生两组[0，1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.

(2)经过平移和伸缩变换，x＝x1*0.5＋9.5，y＝y1*0.5＋9.75，得到一组[9.5，10]，一组[9.75，10.25]上的均匀随机数．

(3)统计试验总次数N及赶上车的次数N1(满足x<y的点(x，y)数)．

(4)计算频率fn(A)＝，即为能赶上车的概率的近似值．