高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数同步达标检测题

第5课时　同角三角函数的基本关系(1)

1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式．

2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．

1．同角三角函数的基本关系式包括：

①平方关系：sin2α＋cos2α＝1

②商数关系：tanα＝.

2．商数关系tanα＝成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．

3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝等．

一、选择题

1．已知sinα＝，且α是第二象限角，那么tanα的值是(　　)

A．－　　B．－

C.       D.

答案：A

解析：cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－.

2.化简结果为(　　)

A．cos   B．－cos

C．±cos  D．－cos

答案：B

3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为(　　)

A．1    B．－1

C．±1   D．0

答案：C

解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.

即或，

故sinθ－cosθ＝±1.

4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：由解得tanα＝3.∴＝3，

又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.

5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

答案：C

解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，

∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，

sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．

sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．

6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为(　　)

A．－2      B．2

C．－2或2  D．0

答案：D

解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，

∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝；

当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－，

∴原式＝＋＝0.

二、填空题

7．若＝，则tanα＝________.

答案：－3

解析：＝＝，

∴tanα＝－3.

8．化简：＝________.

答案：cos20°－sin20°

解析：原式＝

＝＝|cos20°－sin20°|

＝cos20°－sin20°.

9．如果tanα＝，π＜α＜π，则sinαcosα＝________.

答案：

解析：sinαcosα＝＝

＝＝＝＝.

三、解答题

10．已知sinα＝，求cosα，tanα的值．

解：因为sinα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．

由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝.

若α是第一象限角，那么cosα>0，

于是cosα＝，

从而tanα＝＝；

若α是第二象限角，那么cosα＝－，tanα＝－.

11．已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的值．

解：由sinα＋cosα＝两边平方，得sinαcosα＝－<0，由0<α<π可知：sinα>0，cosα<0，故<α<π，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.由<α<π知：sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，联立得sinα＝，cosα＝－，所以，tanα＝＝－.

12．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

答案：D

解析：等式sinα＋cosα＝，两边平方得：

1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，

而α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，即α是钝角．

13．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.

(1)求k的值；

(2)求tanθ的值(其中sinθ＞cosθ)．

解：(1)由已知得：

∵sin2θ＋cos2θ＝1，

即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1.

∴将②、③代入后，得－＝1，

即9k2－8k－20＝0，解之，得k＝－或k＝2.

∵k＝2不满足①式，故舍去，∴k＝－.

(2)把k＝－，代入②、③

得

解之，得(sinθ＞cosθ)

∴tanθ＝＝＝－＝－.