必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质复习练习题

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性

1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．

2．能判断三角函数的奇偶性．

1．周期性：

(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

(2)y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.

2．y＝Asin(wx＋φ)，x∈R及y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数且A≠0，ω>0)的周期为T＝.

3．y＝sinx，x∈R是奇函数，y＝cosx，x∈R是偶函数；sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx.

4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．

一、选择题

1．下列说法中正确的是(　　)

A．当x＝时，sin≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期

B．当x＝时，sin＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期

C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期

D．因为cos＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期

答案：A

解析：T是f(x)的周期，对应f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立．

2．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为(　　)

A.　 B．3π

C.  D.

答案：C

解析：该函数的最小正周期T＝＝.

3．函数y＝cos的最小正周期是(　　)

A．π   B．6π

C．4π  D．8π

答案：B

解析：最小正周期公式T＝＝＝6π.

4．下列函数中，最小正周期为π的是(　　)

A．y＝sinx  B．y＝cosx

C．y＝sin  D．y＝cos2x

答案：D

解析：A项，y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；B项，y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；C项，y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，故C项不符合题意；D项，y＝cos2x的最小正周期为T＝＝π，故D项符合题意．故选D.

5．函数f(x)＝xsin(　　)

A．是奇函数

B．是非奇非偶函数

C．是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

答案：A

解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsin＝xcosx，∴f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．

6．已知函数f(x)＝的定义域为R，则(　　)

A．f(x)是奇函数

B．f(x)是偶函数

C．f(x)既是奇函数又是偶函数

D．f(x)既不是奇函数又不是偶函数

答案：B

解析：∵函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝＝f(x)，∴f(x)＝为偶函数．

二、填空题

7．若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sinx，则当x＜0时，f(x)＝________.

答案：－x2－sinx

解析：利用奇函数的定义求解．当x＜0时，－x＞0，因f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－sin(－x)]＝－x2－sinx.

8．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________.

答案：3

解析：∵函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.

9．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(20 15)＝7，则f(－2 015)＝________.

答案：－5

解析：由f(2 015)＝2 015a＋bsin2 015＋1＝7，得2 015a＋bsin2 015＝6，∴f(－2 015)＝－2 015a－bsin2 015＋1＝－(2 015a＋bsin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝log|sinx|.

(1)求其定义域和值域；

(2)判断奇偶性；

(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．

解：(1)|sinx|>0⇒sinx≠0，

∴x≠kπ(k∈Z)．

∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}

∵0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0，

∴函数的值域是{y|y≥0}．

(2)定义域关于原点对称

∵f(－x)＝log|sin(－x)|

＝log|sinx|＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

(3)∵|sinx|在定义域{x|x≠kπ，k∈Z}内是周期函数，且最小正周期是π，

∴函数f(x)＝log|sinx|是周期函数，最小正周期为π.

11．设f(x)＝log3.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性．

解：(1)∵>0，

∴－<sinx<，

∴kπ－<x<kπ＋，k∈Z，

∴该函数的定义域为

.

(2)由(1)知定义域关于原点对称，

又f(－x)＝log3

＝log3－1

＝－log3

＝－f(x)，

∴该函数为奇函数．

12．函数f(x)满足f(x＋2)＝－，则f(x)的最小正周期是________．

答案：4

解析：f(x＋4)＝－＝f(x)所以函数f(x)的最小正周期是4.

13．求函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．

解：设f(x)的最小正周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，对x∈R恒成立．即|sin(x＋T)|＋|cos(x＋T)|＝|sinx|＋|cosx|.令x＝0，得|sinT|＋|cosT|＝1.两边平方，得|sinT|·|cosT|＝0.

∴角T的终边在坐标轴上．∴T＝(k∈N＋)．

又f＝|sin|＋|cos|

＝|cosx|＋|－sinx|＝|cosx|＋|sinx|＝f(x)，

∴f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为.