高中数学人教版新课标A必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习题

第21课时　平面向量基本定理

1.了解平面向量的基本定理及其意义．

2．能正确的运用平面向量基本定理解决问题．

1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．已知两个非零向量a和b，作＝a、＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b.

一、选择题

1．下列各组向量中，一定能作为基底的是(　　)

A．a＝0，b≠0

B．a＝3e，b＝－3e(e≠0)

C．a＝2e1－e2，b＝e1＋2e2(e1，e2不共线)

D．a＝4e1＋4e2，b＝－2e1－2e2(e1，e2不共线)

答案：C

解析：由平面向量基本定理知，a，b不共线，∴选C.

2．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为(　　)

A．1　　B．2

C．－2  D．－1

答案：D

解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.

3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　)

A.(e1＋e2)   B.(e1－e2)

C.(2e2－e1)  D.(e2－e1)

答案：A

解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.

4．已知非零向量，不共线，且2＝＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)

A．x＋y－2＝0   B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0  D．2x＋y－2＝0

答案：A

解析：由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴，消去λ得x＋y＝2.

5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则＝(　　)

A．λ(＋)，λ∈(0,1)

B．λ(＋)，λ∈

C．λ(－)，λ∈(0,1)

D．λ(－)，λ∈

答案：A

解析：如图所示，＝＋.又点P在AC上，∴与同向，且||<||，故＝λ(＋)，λ∈(0,1)．

6．若点O是▱ABCD的两条对角线AC与BD的交点，且＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：3e2－2e1＝(6e2－4e1)＝(－)

＝(－)＝＝.

二、填空题

7．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.

答案：－2或

解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.

8．已知e1，e2是两个不共线向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________.

答案：－

解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在唯一的μ，使2e1－e2＝μ(e1＋λe2)＝μe1＋μλe2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－.

9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________.

答案：

解析：∵＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，∴，则＝.

三、解答题

10.

如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.

解：由＝3，知N为AC的四等分点．

＝＋

＝－

＝－(＋)

＝－＋

＝－a＋b.

11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λ a＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？

解：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，

由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

答案：

解析：选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，

于是得解得

所以λ＋μ＝.

13.

如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.

求证：B、E、F三点共线．

证明：如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG、CG，得到平行四边形ABGC，

则＝a＋b，

＝＝(a＋b)

＝＝(a＋b)

＝＝b，

＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．

又＝－＝b－a＝(b－2a)．

所以＝，

又因为与有公共点B，所以B、E、F三点共线．