数学必修4第二章 平面向量综合与测试同步训练题

习题课(二)

一、选择题

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案：A

解析：由题意，得(k∈Z)，即(k∈Z)，所以x≠(k∈Z)，选A.

2．函数f(x)＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　)

答案：A

解析：函数f(x)是非奇非偶函数，故排除B，D；又x∈[－π，π]时，x＋sin|x|≥x恒成立，所以函数f(x)的图象应在直线y＝x的上方，故排除C，选A.

3．函数f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)(A>0，ω>0)在上单调递增，则ω的最大值是(　　)

A.　　B.

C．1   D．2

答案：C

解析：因为A>0，ω>0，所以当2kπ－≤ωx＋ωπ≤2kπ＋(k∈Z)时，有－π≤x≤－π(k∈Z)，所以⊆(k∈Z)，

则，解得.又由题意得－－＝≤＝，所以ω≤，所以0<ω≤1，所以ω的最大值为1.

4．三个数cos，sin，－cos的大小关系是(　　)

A. cos>sin>－cos

B．cos>－cos>sin

C．cos<sin<－cos

D．－cos<cos<sin

答案：C

解析：sin＝cos.

－cos＝cos.

∵＝1.5，－≈1.47，π－≈1.39，

∴π>>－>π－>0.

又∵y＝cosx在(0，π)上是减函数，

∴cos<sin<－cos.

5．函数y＝的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案：C

解析：由，

解得，所以选C.

6．函数y＝的值域是(　　)

A．[－1,1]

B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C．(－∞，1]

D．[－1，＋∞)

答案：B

解析：因为－≤x≤，

又因为y＝tanx在x∈时为增函数．所以－1≤tanx≤1.又x≠0，所以－1≤tanx＜0或0＜tanx≤1，

因而易求得∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

二、填空题

7．若y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

答案：(－π，0]

解析：由y＝cosx的图象可知，a的取值范围是－π<a≤0.

8．函数y＝的定义域是________．

答案：

解析：要使函数有意义，只需log2≥0，∴0<tanx≤1，∴kπ<x≤kπ＋，k∈Z，∴该函数的定义域是.

9．函数f(x)＝tanωx(ω>0)图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．

答案：

解析：由题意可得T＝.∴ω＝＝4，

f(x)＝tan4x.，所以f＝tan＝.

三、解答题

10．求函数y＝的值域和单调区间．

解：y＝，∵(tanx－1)2＋1≥1，

∴该函数的值域是(0,1]．

当tanx<1时，该函数单调递增，单调递增区间是(k∈Z)；

当tanx>1时，该函数单调递减，单调递减区间是(k∈Z)．

11．设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0<φ<π)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调区间．

解：(1)令(－2)×＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝.

(2)由(1)得f(x)＝sin＝

－sin，

令g(x)＝sin，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即g(x)的单调增区间为，k∈Z；

由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

即g(x)的单调减区间为k∈Z，

故f(x)的单调增区间为k∈Z；

单调减区间为k∈Z.

12．若a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则(　　)

A．a<b<c  B．b<c<a

C．c<b<a  D．a<c<b

答案：D

解析：∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝

tan45°<tan70°，

∴logsin25°>logcos25°>logtan70°.

即a<c<b.

13．若函数f(x)＝tan2x－atanx的最小值为－6，求实数a的值．

解：设t＝tanx，∵|x|≤，∴t∈[－1,1]，

则原函数化为y＝t2－at＝2－，

对称轴方程为t＝，

①若－1≤≤1，则当t＝时，ymin＝－＝－6，∴a2＝24，不符合题意，舍去．

②若<－1，即a<－2时，二次函数在[－1,1]上递增，当t＝－1时，ymin＝1＋a＝－6，∴a＝－7.

③若>1，即a>2时，二次函数在[－1,1]上递减，当t＝1时，ymin＝1－a＝－6，∴a＝7.

综上所述，a＝－7或a＝7.