高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试复习练习题

习题课(四)

一、选择题

1．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α＝(　　)

A.      B．－

C．－  D.

答案：A

解析：因为cosα＋sinα＝－，α∈(0，π)，所以sin2α＝－，cosα<0，且α∈，所以2α∈，所以cos2α＝＝.故选A.

2．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝(　　)

A.      B．－

C．－  D.

答案：B

解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.

3．已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝(　　)

A.   B.

C.  D．3

答案：D

解析：由于α，β均为锐角，cosα＝，则sinα＝，tanα＝.又tan(α－β)＝－，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.故选D.

4．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是(　　)

A．[2,3]  B.

C．[1,4]  D．[2,4]

答案：A

解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.

5．已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β等于(　　)

A.        B．－

C.或－  D．－或

答案：B

解析：由题意，得tanα＋tanβ＝－3 ，tanαtanβ＝4，∴tanα<0且tanβ<0.又∵α，β∈，∴α，β∈(－，0)．tan(α＋β)＝＝＝，又知α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.

6．化简的结果是(　　)

A．－cos1  B．cos1

C.cos1   D．－cos1

答案：C

解析：原式＝＝＝cos1.

二、填空题

7．已知sin＝，则sin2x＝________.

答案：－

解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.

8．已知cos＋cos＝，且α∈，则sin＝________.

答案：

解析：因为cos＋cos＝，所以cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，所以＝，得sin＝.因为α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.

9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.

答案：3＋2

解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，

＝＝＝＝＝3＋2.

三、解答题

10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.

(1)求f(0)的值；

(2)设α、β∈， f(3α＋)＝， f(3β＋2π)＝，求sin(α＋β)的值．

解：(1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.

(2)f＝2sin＝2sinα＝，∴sinα＝.

又α∈，∴cosα＝.

同理f(3β＋2π)＝2sin

＝2sin＝2cosβ＝，

∴cosβ＝，又β∈，∴sinβ＝.

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×＋×＝.

11．已知α是第一象限的角，且cosα＝，

求的值．

解：＝

＝＝·.

由已知可得sinα＝，

∴原式＝×＝－.

12．向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＝与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是(　　)

A．相切  B．相交

C．相离  D．随α、β的值而定

答案：B

解析：cos60°＝＝

＝cos(α－β)＝.

圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＝的距离为＝0，

所以圆心在直线上，圆与直线相交．

13．已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋.

(1)求函数f(x)的零点；

(2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值．

解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin.

由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，

所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．

(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝，

因为α∈，所以<α＋<，

则cos＝－，

所以cosα＝cos＝

coscos＋sinsin＝－×＋×＝.