高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换综合与测试综合训练题

第二、三章滚动测试

班级____　姓名____　考号____　分数____

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若＝，则x＋y等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案：D

解析：∵＝，∴(1－x，－1)＝(－1,1－y)，

∴得x＋y＝4.

2．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)

A．a与b的长度必相等 

B．a∥b且a与b同向

C．a与b不一定相等 

D．a是b的相反向量

答案：B

解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|可知两向量的夹角为0°或180°，根据a、b为非零向量可知如果有|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b必同向．

3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：D

解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－.故选D.

4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则(　　)

A.＋＋＝0  B.－＋＝0

C.＋－＝0  D.－－＝0

答案：A

解析：＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.

5．在△ABC中，A＝15°，则sinA－cos(B＋C)的值为(　　)

A.  B.

C.  D．2

答案：C

解析：原式＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋30)＝2sin(15°＋30°)＝.

6．设f(sinx)＝cos2x，则f等于(　　)

A．－  B．－

C.      D.

答案：A

解析：解法一：由f(sinx)＝cos2x＝1－2sin2x，

得f(x)＝1－2x2，

则f＝1－2×2＝－.

解法二：由题意令x＝60°，得

f＝f(sin60°)＝cos120°＝－.

7．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则＝(　　)

A.  B.

C.   D.

答案：D

解析：∵α＋＝α＋β－，∴tan＝tan

＝＝，

∴＝＝tan＝.

8．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象(　　)

A．向左平移个单位得到

B．向右平移个单位得到

C．向左平移个单位得到

D．向右平移个单位得到

答案：C

解析：y＝sin2x＋cos2x

＝sin＝sin2，

y＝sin2x－cos2x＝sin

＝sin2，其中x＋＝－，

∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．

9．如果＝，那么等于(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：∵＝＝，∴＝，∴＝.

10．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形      B．等腰三角形

C．等腰直角三角形  D．等边三角形

答案：B

解析：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||.

11．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是(　　)

A.     B．－

C．±  D．±

答案：B

解析：由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得

相加得cos(x－y)＝.∵x、y均为锐角且sinx－siny<0，∴－<x－y<0，

∴sin(x－y)＝，∴tan(x－y)＝－.

12．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan等于(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，解得sinα＝，又α∈，所以cosα＝－，

tanα＝－，则tan＝＝.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．设向量a，b满足|a|＝2 ，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

答案：(－4，－2)

解析：设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．

14．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.

答案：－16

解析：·＝·＝－2＋2＝－×102×32＝－16.

15．化简(tan10°－1)·＝________.

答案：－1

解析：原式＝＝＝＝－1.

16．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．

答案：

解析：

如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，

故2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，

所以f(λ)＝2＝

2，故最小值为，在λ＝时取得．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．

解：∵cosθ＝，θ∈(π，2π)，

∴sinθ＝－，tanθ＝－，

∴sin＝sinθcos－cosθsin

＝－×－×＝－；

tan＝

＝＝.

18．(12分)已知函数f(x)＝2cosx·sin－sin2x＋sinxcosx.将函数f(x)的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，求m的最小值．

解：f(x)＝2cosx·sin－sin2x＋sinxcosx

＝2cosx－sin2x＋sinxcosx

＝2sinxcosx＋cos2x＝2sin.

函数f(x)的图象向右平移m个单位后的解析式为g(x)＝2sin

＝2sin，

要使函数g(x)为偶函数，则－2m＋＝kπ＋(k∈Z)．

又m>0，∴当k＝－1时，m取得最小值为π.

19．(12分)当0<x≤时，求函数f(x)＝－的最大值．

解：∵0<x≤，则0<tanx≤1，

∴f(x)＝－＝－＝－＝4tanx＋－＝4tanx.

∴f(x)≤4.∴f(x)max＝4.

20．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解：(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝

1－＝.

(2)三角恒等式为：

sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.

证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)

＝sin2α＋cos2α＋cosαsinα＋sin2α－

sinα·cosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.

21．(12分)已知向量a与b的夹角为π，|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb.

(1)若m⊥n，求实数k的值；

(2)是否存在实数k，使得m∥n？说明理由．

解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb)＝0，

整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，

∴27k＝36，∴k＝，∴当k＝时，m⊥n.

(2)若存在实数k，使m∥n，则有m＝λn，

即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)b.

∵由题意可知向量a与b不共线，

∴⇒

即存在实数k＝－，使得m∥n.

22．(12分)已知函数f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x(x∈R)的图象过点A(0,1)，B，且b>0，又f(x)的最大值为2－1.

(1)将f(x)写成含Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的形式；

(2)由函数y＝f(x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数y＝g(x)的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．

解：(1)f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x＝a＋sin(2x＋φ)，

由题意，可得

解得

所以f(x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x＝2sin－1.

(2)将f(x)的图象向上平移1个单位得到函数f(x)＝2sin的图象，再向右平移个单位得到y＝2sin2x的图象，而函数y＝2sin2x为奇函数，故将f(x)的图象先向上平移1个单位，再向右平移个单位就可以得到奇函数y＝g(x)的图象．