高中数学人教版新课标A必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念当堂检测题

 www.ks5u.com课时达标检测（十九）平面向量基本定理

一、选择题

1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)

①λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

A．①②　　　　　　 　B．②③

C．③④   D．②

答案：B

2．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)

A．e1，e1＋e2

B．e1－2e2，e2－2e1

C．e1－2e2,4e2－2e1

D．e1＋e2，e1－e2

答案：C

3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)

A.(5e1＋3e2)

B.(5e1－3e2)

C.(3e2－5e1)

D.(5e2－3e1)

答案：A

4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b  B.a＋b

C.a－b   D．－a＋b

答案：B

5．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR―→等于(　　)

A．a－b

B．2(b－a)

C．2(a－b)

D．b－a

答案：B

二、填空题

6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．

答案：90°

7．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

答案：

8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.

答案：a－b

三、解答题

9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若  4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，

则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，得⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则

3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)

＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

∴⇒

∴c＝2a＋b.

(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得

4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)

＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

∴⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1.

10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.

解：∵DC∥AB，AB＝2DC，E、F分别是DC、AB的中点，

∴＝＝a，＝＝＝b.

＝＋＋

＝－－＋

＝－×b－a＋b＝b－a.

11.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，

||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．

解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.

在Rt△OCD中，

∵||＝2，

∠COD＝30°，∠OCD＝90°，

∴||＝4，||＝2，

故＝4，＝2，

即λ＝4，μ＝2，

∴λ＋μ＝6.