第一章　三角函数(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知cos α＝，α∈(370°，520°)，则α等于(　　)

A．390°        B．420°        C．450°        D．480°

2．若sin x·cos x<0，则角x的终边位于(　　)

A．第一、二象限        B．第二、三象限

C．第二、四象限        D．第三、四象限

3．函数y＝tan 是(　　)

A．周期为2π的奇函数

B．周期为的奇函数

C．周期为π的偶函数

D．周期为2π的偶函数

4．已知tan(－α－π)＝－5，则tan(＋α)的值为(　　)

A．－5        B．5

C．±5         D．不确定

5．已知函数y＝2sin (ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于(　　)

A．1        B．2

C.          D.

6．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于(　　)

A．－              B．2kπ－(k∈Z)

C．kπ(k∈Z)          D．kπ＋(k∈Z)

7．若＝2，则sin θcos θ的值是(　　)

A．－        B.        C．±        D.

8．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin        B．y＝sin

C．y＝sin        D．y＝sin

9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是(　　)

A.         B．－

C.        D．－

10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)

11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是(　　)

A．0        B．1        C．2        D．4

12．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则(　　)

A．a<b<c        B．a<c<b

C．b<c<a        D．b<a<c

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．如果cos α＝，且α是第四象限的角，那么cos(α＋)＝________.

14．设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．

15.

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

16．给出下列命题：

(1)函数y＝sin |x|不是周期函数；

(2)函数y＝tan x在定义域内为增函数；

(3)函数y＝|cos 2x＋|的最小正周期为；

(4)函数y＝4sin(2x＋)，x∈R的一个对称中心为(－，0)．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．

18．(12分)已知＝，求下列各式的值．

(1)；

(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.

19．(12分)已知sin α＋cos α＝.

求：(1)sin α－cos α；(2)sin3α＋cos3α.

20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．

21．(12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3.

(1)求出此函数的解析式；

(2)求该函数的单调递增区间；

(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)？若存在，求出m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．

22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.

(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

第一章　三角函数(B)

答案

1．B　2.C　3.A　4.A

5．B　[由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2.]

6．D　[若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cos φ＝0，∴φ＝kπ＋，(k∈Z)．]

7．B　[∵＝＝2，

∴tan θ＝3.

∴sin θcos θ＝＝＝.]

8．C　[函数y＝sin x y＝siny＝sin.]

9．A　[将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin＝sin(x－－θ)．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)．

∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝.]

10．D　[图A中函数的最大值小于2，故0<a<1，而其周期大于2π.故A中图象可以是函数f(x)的图象．图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2π，故B中图象可以是函数f(x)的图象．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象不可能为函数f(x)的图象．]

11．C　[函数y＝cos＝sin ，x∈[0,2π]，图象如图所示，直线y＝与该图象有两个交点．

]

12．D　[∵a＝sin ＝sin(π－)＝sin .

－＝－>0.

∴<<.

又α∈时，sin α>cos α.

∴a＝sin >cos ＝b.

又α∈时，sin α<tan α.

∴c＝tan >sin ＝a.

∴c>a.∴c>a>b.]

13.

解析　∵α是第四象限的角且cos α＝.

∴sinα＝ －＝－，

∴cos(α＋)＝－sin α＝.

14.

解析　由消去y得6cos x＝5tan x.

整理得6cos2 x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，(3sin x－2)(2sin x＋3)＝0，

所以sin x＝或sin x＝－(舍去)．

点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝.

15．3

解析　由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：

＝(－)－(－π)＝，∴T＝π.

∵T＝＝π，∴ω＝3.

16．(1)(4)

解析　本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y＝sin |x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f(x＋)＝|－cos 2x＋|≠f(x)，∴不是函数的周期；(4)由于f(－)＝0，故根据对称中心的意义可知(－，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．

17．解　(1)f(α)＝

＝

＝

＝－cos α.

(2)∵cos(α－)＝cos(－α)＝－sin α＝.

∴sin α＝－.

∵α是第三象限角，∴cos α＝－.

∴f(α)＝－cos α＝.

18．解　由已知＝，

∴＝.

解得：tan θ＝2.

(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝＝＝－.

19．解　(1)由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，

∴sin α－cos α＝±.

(2)sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，

由(1)知sin αcos α＝－且sin α＋cos α＝，

∴sin3α＋cos3α＝×＝.

20．解　(1)由图象知A＝2.

f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.将点(，2)代入f(x)的解析式得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

(2)变换过程如下：

y＝2sin xy＝2sin(x＋)y＝2sin(2x＋)．

21．解　(1)由题意得A＝3，T＝5π⇒T＝10π，

∴ω＝＝.∴y＝3sin(x＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(＋φ)＝3，

∵0≤φ≤，∴φ＝－＝.

∴y＝3sin(x＋)．

(2)当2kπ－≤x＋≤2kπ＋时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，原函数单调递增．

∴原函数的单调递增区间为[10kπ－4π，10kπ＋π](k∈Z)．

(3)m满足

解得－1≤m≤2.

∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，

∴0≤≤2，

同理0≤≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有：

Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)，只需要：

>，即m>成立即可，所以存在m∈(，2]，使Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)成立．

22．解　(1)由表中数据知周期T＝12，

∴ω＝＝＝，

由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.

由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.

∴A＝0.5，b＝1，

∴y＝cos t＋1.

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1>1，

∴cos t>0，∴2kπ－<t<2kπ＋，即12k－3<t<12k＋3.①

∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，

得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.