§1.3　三角函数的诱导公式(一)

课时目标　1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．

1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.

2.诱导公式一～四

(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.

(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.

(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.

(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.

一、选择题

1．sin 585°的值为(　　)

A．－        B.        C．－        D.

2．若n为整数，则代数式的化简结果是(　　)

A．±tan α        B．－tan α

C．tan α         D.tan α

3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于(　　)

A.        B．±        C.        D．－

4．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)

A.        B.        C．－1        D．1

5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)

A.        B．－        C.        D．－

6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为(　　)

A.           B．－

C．±        D．以上都不对

二、填空题

7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.

8．三角函数式的化简结果是______.

9．代数式的化简结果是______．

10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.

三、解答题

11．若cos(α－π)＝－，求的值．

12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.

能力提升

13．化简：(其中k∈Z)．

14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

1．明确各诱导公式的作用

2.诱导公式的记忆

这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

§1.3　三角函数的诱导公式(一)

答案

知识梳理

1．原点　x轴　y轴

2．(1)sin α　cos α　tan α　(2)－sin α　－cos α　tan α　(3)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α　－cos α　－tan α

作业设计

1．A　2.C

3．D　[由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，

∴sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．]

4．A　[原式＝＝＝.]

5．B　[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，

∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.

∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]

6．B　[∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，

∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]

7．－

8．tan α

解析　原式＝＝＝＝＝tan α.

9．－1

解析　原式＝

＝＝

＝＝＝－1.

10．3

解析　f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2

＝2－(asin α＋bcos β)＝1，

∴asin α＋bcos β＝1，

f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2

＝asin α＋bcos β＋2＝3.

11．解　原式＝

＝

＝

＝－tan α.

∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，

∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．

当α为第一象限角时，cos α＝，

sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.

当α为第四象限角时，cos α＝，

sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.

综上，原式＝±.

12．证明　∵sin(α＋β)＝1，

∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，

∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．

tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β

＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β

＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β

＝tan(π－β)＋tan β

＝－tan β＋tan β＝0，

∴原式成立．

13．解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则

原式＝＝＝＝－1.

当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则

原式＝

＝

＝＝－1.

∴上式的值为－1.

14．解　由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，

平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，

又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.

当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，

∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．

∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.