人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算达标测试

§2.2　平面向量的线性运算

2．2.1　向量加法运算及其几何意义

课时目标　1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．

1．向量的加法法则

(1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.

(2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝______________.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.

一、选择题

1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(　　)

A．向东南航行 km        B．向东南航行2 km

C．向东北航行 km        D．向东北航行2 km

2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　)

A.＝，＝

B.＋＝

C.＋＝＋

D.＋＋＝

3．在四边形ABCD中，＝＋，则(　　)

A．四边形ABCD一定是矩形

B．四边形ABCD一定是菱形

C．四边形ABCD一定是正方形

D．四边形ABCD一定是平行四边形

4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)

A．a∥b，且a与b方向相同

B．a，b是共线向量且方向相反

C．a＝b

D．a，b无论什么关系均可

5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)

A.         B.

C.         D.

6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)

A．1        B．2

C．3        D．2

二、填空题

7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.

8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．

9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．

10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＋＝________.

三、解答题

11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.

求证：四边形AECF是平行四边形．

能力提升

13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

14．在水流速度为4  km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

§2.2　平面向量的线性运算

2．2.1　向量加法运算及其几何意义

答案

知识梳理

1．(1)　a＋b　　0　a　a　(2)OA　OB　平行四边形　

2．(1)b＋a　(2)a＋(b＋c)

作业设计

1．A　2.C　3.D　4.A

5．C　[＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]

6．B　[|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]

7．0

解析　注意＋＝0，＋＝0.

8．2

解析　|＋＋|＝|2|＝2||＝2.

9．8

解析　∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.

∴|a＋b|的最大值为8.

10．(1)　(2)0　(3)　(4)

11．解　

如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5 (km/h)．

∵四边形OACB为矩形，

∴||＝＝5 (km/h)，||＝＝10 (km/h)，

∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.

12．证明　＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，

所以＝，即AE与FC平行且相等，

所以四边形AECF是平行四边形．

13．0

解析　如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，

则＋＝，＋＝0，

∴＋＋＝0.

14．解　

如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4 ，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，

即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.

所以||＝8 ，∠BAD＝120°.

即船航行的速度大小为8  km/h，方向与水流方向所成角为120°.