第二章　平面向量(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(　　)

A．－6        B．6        C．9        D．12

2．下列命题正确的是(　　)

A．单位向量都相等

B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0

D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.

3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－，2)

B．(－∞，－)∪(2，＋∞)

C．(－2，)

D．(－∞，2)∪(，＋∞)

4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于(　　)

A．8        B．6        C．－8        D．－6

5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是(　　)

A.        B.        C.        D.

6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：

①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；

②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；

③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；

④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．

其中正确的命题是(　　)

A．①③        B．①④        C．②③        D．②④

7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于(　　)

A．－4        B．4       C．－        D.

8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，则(　　)

A．点M在线段AB上

B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上

D．O，A，B，M四点共线

9．P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　)

A.        B．2        C．3        D．6

10．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n等于(　　)

A.        B.        C.        D．1

11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于(　　)

A．－        B．－        C．0        D.

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)

A．若a与b共线，则a⊙b＝0

B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)

D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．

16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)如图所示，以向量＝a，＝b为边作▱AOBD，又＝，＝，用a，b表示、、.

18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，

求：(1)(a－2b)·(a＋b)；

(2)|a＋b|；

(3)|3a－4b|.

19．(12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．

20．(12分)设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设＝a，＝b，＝ma，＝nb.

求证：＋＝3.

第二章　平面向量(B)

答案

1．B　[∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]

2．C　[∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b    |a－b|2＝a2＋b2－2a·b   |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]

3．A　[∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－<m<2.]

4．A　[∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，

∴·＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]

5．C　[∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.]

6．B　[由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.]

7．A　[向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.]

8．B　[∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.]

9．C　[设△ABC边BC的中点为D，则＝＝.

∵＝(＋)＝，∴＝，∴||＝||.∴＝3.]

10．B　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋故有m＋n＝＋＝.]

11．B　[由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.]

12．B　[若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．]

13．2

解析　∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，

∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．

∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.

∴λ＝2.

14．7

解析　∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49.

∴|5a－b|＝7.

15．2x－3y－9＝0

解析　设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0.

16．－8

解析　设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8.

17．解　＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b.

又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，

∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.

18．解　a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.

(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.

(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.

∴|a＋b|＝2.

(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，

∴|3a－4b|＝4.

19．解　由题意有|a|＝＝2，|b|＝＝1.

∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.

∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝.

∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2时，有最小值为－.

20．解　设＝t，t∈[0,1]，则＝(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)，

＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或.

21．解　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，

得<0，

即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.

整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*)

∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.

∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1

∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－.

当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．

对比系数得，∴

∴所求实数t的取值范围是∪.

22.

证明　如右图所示，

∵＝(＋)＝(a＋b)，

∴＝＝(a＋b)．

∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b.

＝－＝nb－ma.

又P、G、Q三点共线，

所以存在一个实数λ，使得＝λ.

∴(－m)a＋b＝λnb－λma，

∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0.

∵a与b不共线，

∴

由①②消去λ得：＋＝3.