第三章　三角恒等变换(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．(cos －sin )(cos ＋sin )等于(　　)

A．－        B．－        C.        D.

2．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝        B．x＝        C．x＝π        D．x＝

3．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于(　　)

A．－        B．－        C.        D.

4．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是(　　)

A.         B.

C.        D.

5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(　　)

A.        B.        C.        D.

6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于(　　)

A．－        B.        C．－        D.

7．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为(　　)

A.        B．－        C．2        D.或－

8．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(　　)

A．向左平移个单位        B．向右平移个单位

C．向右平移个单位        D．向左平移个单位

9．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　　)

A．c<a<b        B．b<c<a

C．a<b<c        D．b<a<c

10．化简的结果是(　　)

A.        B．tan 2α        C.        D．tan α

11．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tan β＝－2，则cos∠POQ的值为(　　)

A．－        B．－

C.          D.

12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为(　　)

A．2，π        B．2,4π

C.，4π         D.，π

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.的值是________．

14．已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，则tan α＝________.

15．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为________．

16．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.

求：tan(α＋β)及α＋β的值．

18．(12分)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.

(1)求f()的值；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

19．(12分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且a⊥b.

(1)求tan α的值；

(2)求cos的值．

20．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x.

(1)求f(x)的周期和单调递增区间；

(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．

21．(12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．

22．(12分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.

(1)求sin α的值；(2)求β的值．

第三章　三角恒等变换(A)

答案

1．D　[(cos －sin )(cos ＋sin )＝cos2 －sin2＝cos ＝.]

2．C　[y＝sin＝sin＝cos x，当x＝π时，y＝－1.]

3．B　[sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，

∴sin α＋cos α＝.

两边平方，

∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]

4．B　[y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x＝－sin 2x－cos 2x

＝－sin

当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，

且T＝π.故B项合适．]

5．A　[∵0<θ<，∴θ＋∈，

又sin θ＋cos θ＝sin，

所以<sin≤1，1<sin θ＋cos θ≤.]

6．B　[sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°

＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)

＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)

＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)

＝－cos(73°＋47°)

＝－cos 120°＝.]

7．B　[∵π<2θ<2π，∴<θ<π，

则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，

化简得tan2θ－tan θ－＝0，

解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，

∴tan θ＝－.]

8．C　[y＝sin x＋cos x＝sin

∴y＝sin x－cos x＝sin＝sin.]

9．A　[a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.

∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c<a<b.]

10．B　[原式＝＝＝tan 2α.]

11．A

[tan β＝tan(π－θ1)＝－tan θ1＝－2，

∴tan θ1＝2，tan θ2＝.

∴tan∠POQ＝＝－2，

∴<∠POQ<π.∴cos∠POQ＝－.]

12．C　[＝m⊗＋n＝(2，)⊗(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]

13．1

解析　∵＝＝tan 45°＝1，∴＝1.

14．－

解析　∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α

∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1.

∵<α<π，∴sin α＝，

∴α＝π，∴tan α＝－.

15.＋1

解析　y＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋1，

∴ymax＝＋1.

16．1

解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)

∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β

∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)

∵α、β均为锐角，

∴sin β＋cos β≠0，

∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.

17．解　∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，

∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，

tan(α＋β)＝＝＝1.

∵0<α<，π<β<，

∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.

18．解　(1)f()＝2cos ＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.

(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x＝3cos2x－4cos x－1＝3(cos x－)2－，x∈R.

因为cos x∈[－1,1]，

所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；

当cos x＝时，f(x)取得最小值－.

19．解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.

而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，

故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.

由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.

解之，得tan α＝－，或tan α＝.

∵α∈，tan α<0，故tan α＝(舍去)．

∴tan α＝－.

(2)∵α∈，∴∈.

由tan α＝－，求得tan ＝－或tan ＝2(舍去)．

∴sin ＝，cos ＝－，

cos＝cos cos －sin sin ＝－×－×＝－.

20．解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x

＝1－cos－cos 2x

＝1＋sin 2x－cos 2x

＝2sin＋1，

周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，

解得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)x∈，所以2x－∈，

sin∈，

所以f(x)的值域为[2,3]．

而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．

21．解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，得

f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，

所以函数f(x)的最小正周期为π.

因为f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，

f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.

(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．

因为f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.

由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，

从而cos(2x0＋)＝－＝－.

所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin (2x0＋)sin＝.

22．解　(1)tan α＝＝，

所以＝.又因为sin2α＋cos2α＝1，

解得sin α＝.

(2)因为0<α<<β<π，所以0<β－α<π.

因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝.

所以sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝×＋×＝.

因为β∈，

所以β＝.