人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和第1课时巩固练习

这是一份人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和第1课时巩固练习，共6页。试卷主要包含了5　第1课时等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设等比数列{an}的前n项和Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于( )
A．210＋2 B．29－2
C．210－2D．211－2
[答案] D
[解析] ∵q＝eq \f(a2,a1)＝2，∴S10＝eq \f(21－210,1－2)＝2(210－1)＝211－2，选D．
2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为( )
A．3B．0
C．－1D．任意实数
[答案] C
[解析] S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，eq \f(18,6)＝eq \f(6,3＋a)，
所以a＝－1.
3．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2)D．－1或eq \f(1,2)
[答案] C
[解析] 当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；
当q≠1时，S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝3a1q2.
∵a1≠0，
∴1－q3＝3q2(1－q)．
由1－q≠0，两边同时约去1－q，得
1＋q＋q2＝3q2，
即2q2－q－1＝0，解得q＝－eq \f(1,2).
综上，公比q＝1，或q＝－eq \f(1,2).
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)
C．eq \f(32,3)(1－4－n)D．eq \f(32,3)(1－2－n)
[答案] C
[解析] ∵eq \f(a5,a2)＝q3＝eq \f(1,8)，∴q＝eq \f(1,2).
∴an·an＋1＝4·(eq \f(1,2))n－1·4·(eq \f(1,2))n＝25－2n，
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n
＝eq \f(81－\f(1,4n),1－\f(1,4))＝eq \f(32,3)(1－4－n)．
5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31B．32
C．63D．64
[答案] C
[解析] 解法1：由条件知：an>0，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝3，,a1＋a2＋a3＋a4＝15，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a11＋q＝3，,a11＋q＋q2＋q3＝15，))∴q＝2.
∴a1＝1，∴S6＝eq \f(1－26,1－2)＝63.
解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.
6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )
A．7B．9
C．63D．7或63
[答案] D
[解析] 由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
即(21－S10)2＝S10(49－21)，
∴S10＝7或63.
二、填空题
7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
[答案] 127
[解析] 设数列{an}的公比为q(q>0)，
则有a5＝a1q4＝16，
∴q＝2，数列的前7项和为S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(1－27,1－2)＝127.
8．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.
[答案] 5
[解析] 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a12n－1＝93，,a1·2n－1＝48))⇒2n＝32⇒n＝5.
三、解答题
9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
[解析] (1)由题设，知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
eq \f(1＋2d,1)＝eq \f(1＋8d,1＋2d)，
解得d＝1，或d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq \f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
[解析] (1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，
∴q＝1不满足题意．
∴eq \f(2a11－q3,1－q)＝a1＋eq \f(a11－q2,1－q)，
解得q＝－eq \f(1,2).
(2)由(1)知q＝eq \f(1,2)，
又a1－a3＝a1－a1q2＝eq \f(3,4)a1＝3，
∴a1＝4.
∴Sn＝eq \f(4[1－－\f(1,2)n],1＋\f(1,2))＝eq \f(8,3)[1－(－eq \f(1,2))n].
一、选择题
1．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为( )
A．21B．42
C．63D．84
[答案] D
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21，
又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7，
∵an>0，∴q>0，∴q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.
2．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为( )
A．2B．－2
C．2或－2D．2或－1
[答案] C
[解析] S4＝1，S8＝S4＋q4·S4＝1＋q4＝17∴q＝±2.
3．在各项为正数的等比数列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是( )
A．1 061B．1 023
C．1 024D．268
[答案] B
[解析] 由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9，
∴eq \f(a4,a1)＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq \f(3×45－1,4－1)＝1 023.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( )
A．eq \f(15,2) B．eq \f(31,4)
C．eq \f(33,4)D．eq \f(17,2)
[答案] B
[解析] {an}是正数组成的等比数列，∴a3＝eq \r(a2a4)＝1，又S3＝7，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝1,\f(a11－q3,1－q)＝7))，消去a1得，eq \f(q2＋q＋1,q2)＝7，解之得q＝eq \f(1,2)，∴a1＝4，∴S5＝eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,4).
二、填空题
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
[答案] 3
[解析] 若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，
∴eq \f(a11－q6,1－q)＝4·eq \f(a11－q3,1－q)，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.
∴a4＝a1q3＝3.
6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240,S奇－S偶＝80))，
解得S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.
三、解答题
7．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝eq \f(7,2)，首项a1＝eq \f(1,2).
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝6n－61＋lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知S3＝a1＋a2＋a3＝eq \f(7,2)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)q＋eq \f(1,2)q2＝eq \f(7,2).
q2＋q－6＝0，
(q＋3)(q－2)＝0
q＝2或q＝－3.(舍)
∴an＝a1·qn－1＝2n－2.
(2)bn＝6n－61＋lg22n－2
＝6n－61＋n－2＝7n－63.
bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，
∴数列{an}是等差数列．
又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋eq \f(1,2)n(n－1)×7
＝－56n＋eq \f(1,2)n(n－1)×7
＝eq \f(7,2)n2－eq \f(119,2)n.
8．(2014·北京文，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝eq \f(a4－a1,3)＝eq \f(12－3,3)＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝eq \f(b4－a4,b1－a1)＝eq \f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
数列{3n}的前n项和为eq \f(3,2)n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
所以，数列{bn}的前n项和为eq \f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.