高中数学第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性练习

课时训练17　二元一次不等式(组)与平面区域

一、二元一次不等式(组)表示的平面区域

1.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是(　　)

A.b> B.b>-9

C.b<1 D.b≤

答案:A

解析:由已知,2×(-2)-3b+5<0,

∴3b>1,∴b>.

2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是(　　)

A. B.

C. D.

答案:C

解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.

3.不等式组表示的平面区域是 (　　)

A.矩形 B.三角形

C.直角梯形 D.等腰梯形

答案:D

解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.

4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是　　　　　. 

答案:

解析:点P(1,-2)关于原点的对称点为点P'(-1,2).

由题意知

解得<b<.

5.画出不等式x≤|y|≤2x表示的平面区域.

解:由x≤2x,得x≥0,当y>0时,有点(x,y)在一角形区域内(含边界);

当y≤0时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),

综上,x≤|y|≤2x表示的平面区域如图阴影部分.

二、不等式组表示的平面区域的面积

6.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分△ABC所示.

由得A(1,1),

又B(0,4),C,

∴S△ABC=×1=.

设y=kx+与3x+y=4的交点为D,则由S△BCD=S△ABC=知xD=,

∴yD=.∴=k×,解得k=.

7.不等式组表示的平面区域的面积是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案:B

解析:不等式组等价于(1)或(2)

分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点A,不等式组(2)表示的平面区域如图阴影部分所示,

从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),

于是其面积为S=×2×|3-(-1)|=4.

8.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是　　　　　. 

答案:4

解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是×4×2=4.

三、用二元一次不等式组表示实际问题

9.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.

解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为x,y(单位:万元),

根据题意,可得

不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.

(建议用时:30分钟)

1.下面四个点中,在平面区域内的点是 (　　)

A.(0,0) B.(0,2) C.(-3,2) D.(-2,0)

答案:B

解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.

2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.(5,+∞) 

C.(0,2) D.(0,5)

答案:D

解析:∵(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,

∴3a-6-(2a-1)<0.即a<5.

又(a,2a-1)在y轴右侧,∴a>0.

∴0<a<5.

3.由直线y=x,y=-x及x=1围成一个三角形区域,则表示该区域的不等式组是(　　)

A. B.

C. D.

答案:A

解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入点检验知A正确.

4.能正确表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)≥0的点所在的区域的是(　　)

答案:A

解析:∵点(0,0)在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴可排除C,D.

又∵点(-5,0)也在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴排除B.

5.直线y=kx+1将不等式组表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为(　　)

A.1 B.-1 

C.0 D.-2

答案:C

解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,△ABC是等腰直角三角形,且BC⊥x轴,点A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将△ABC等分,则k=0.

6.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为　　　　　. 

答案:4

解析:由已知得解得<b<5,

又∵b∈Z,∴b=4.

7.不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则n=　　　　　. 

答案:4

解析:由已知图形为直角三角形,∴k=1.

从而区域如图所示,

则点A(1,1),C(1,n-1),B,∴S△ABC=(n-2)×=1,∴n=4或n=0(舍去).

8.已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为　　　　　. 

答案:

解析:作出区域D及圆x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角θ=α+β所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为,-,即tan α=,tan β=,tan θ=tan(α+β)==1,故θ=,从而弧长l=θ·R=×2=.

9.△ABC中,顶点A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.

解:如图:

AB,BC,CA三边所在直线的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为

10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是多少?

解:P,Q关于直线x+y=0对称,故PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.

又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上,

即在直线x+y=0上,

又圆心在上,

∴m=-k=-1,∴不等式组为

它表示的平面区域如图所示,故面积为.