高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式同步练习题

课时训练19　基本不等式:

一、对基本不等式的理解及简单应用

1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (　　)

A.a+b≥2 

B.

C.≥2 

D.a2+b2>2ab

答案:C

解析:因为ab>0,所以>0,>0,

即≥2=2,所以选C.

2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<

B.a<<b

C.a<<b<

D.<a<<b

答案:B

解析:0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<<b,0<a<b⇒2a<a+b<2b⇒a<<b,又,所以a<<b.

3.①x+≥2;②≥2;③≥2;④>xy;⑤.

其中正确的是　　　　　(写出序号即可). 

答案:②

解析:当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2,①不正确;

∵x与同号,∴=|x|+≥2,②正确;

当x,y异号时,③不正确;

当x=y时,=xy,④不正确;

当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.

二、利用基本不等式求最值

4.(2015河南郑州高二期末,8)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.4

答案:B

解析:∵2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.

又∵a>0,b>0,

∴2ab≤=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.

∴.故选B.

5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值等于(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

答案:C

解析:∵a>0,b>0,不等式恒成立,

∴m≤.

∵(2a+b)=5+≥5+2×2=9,当且仅当a=b时取等号.

∴m的最大值等于9.故选C.

6.设x>0,则y=3-3x-的最　　　　　值为　　　　　. 

答案:大　3-2

解析:∵x>0,∴3x+≥2.

∴-≤-2.

∴y=3-3x-≤3-2.

∴y有最大值3-2,当且仅当3x=时,即当x=时等号成立.

7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则lg x+lg y的最大值是　　　　　. 

答案:2

解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,

所以lg x+lg y=lg(xy)=lg(x·4y)-lg 4

≤lg-lg 4=lg 400-lg 4=2.

当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.

8.设常数a>0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为　　　　　. 

答案:

解析:∵x>0,a>0,∴9x+≥6a,当且仅当9x=,即x=时取等号.

从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a+1,

∴a≥.

三、利用基本不等式解决实际问题

9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;

(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.

解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,

全程成本为y=(bv2+a)·=120,v∈(0,120].

当a=50,b=时,y=120≥240·=120(当且仅当v=100时取等号).

所以汽车应以100 km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.

(2)当a=,b=时,y=120,

由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.

所以汽车应以120 km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.

(建议用时:30分钟)

1.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为 (　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:∵0<x<1,∴1-x>0,

则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×,

当且仅当x=1-x,即x=时取等号.

2.下列结论正确的是(　　)

A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2

B.当x>0时,≥2

C.当x≥2时,x+的最小值为2

D.0<x≤2时,x-无最大值

答案:B

解析:选项A,当x∈(0,1)时,lg x<0,不满足基本不等式恒为正数的要求;

选项B中满足“一正、二定、三相等”的条件,是正确选项;

选项C,当x>0时,x+≥2,等号成立的条件为x=1,当x≥2时,x+(利用函数单调性处理);

对于D,设f(x)=x-,则f'(x)=1+>0,函数为增函数,因而最大值为.

3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 (　　)

A. B. C.5 D.6

答案:C

解析:∵x+3y=5xy,∴=1.

∴3x+4y=(3x+4y)+2=5.

当且仅当,即x=2y时等号成立.

4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(　　)

A.a<v< B.v=

C.<v< D.v=

答案:A

解析:v=.

因为-a==0,所以>a,即v>a.故选A.

5.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=(　　)

A.-3 B.2 C.3 D.8

答案:C

解析:y=x-4+=x+1+-5,

因为x>-1,所以x+1>0,>0.

所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,

当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,

所以x+1=3,x=2时取等号,

所以a=2,b=1,a+b=3,选C.

6.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则的最小值为　　　　　. 

答案:8

解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n,又m,n>0,

所以=4+≥4+2=8.

当且仅当,即m=,n=时取等号,

则的最小值为8.

7.已知x>0,则的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:因为,又x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以0<,即的最大值为.

8.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为　　　　　元. 

答案:1 760

解析:设池底的长和宽分别为a,b,则2ab=8,ab=4,总造价y=(2a+2b)×2×80+120ab=320(a+b)+480≥320×2+480=1 760(当且仅当a=b=2 m时取等号).

9.设a,b,c都是正数,求证:.

证明:∵a,b,c都是正数,

∴.

同理可证.

三式相加得,

当且仅当a=b=c时取等号.

10.(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

解:设矩形的一边长为x m,则另一边长为m,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为m.

由得4<x<400,

所以其面积S=(x-4)·

=808-

≤808-2=808-160

=648(m2).

当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.

因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2.