人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试测试题

这是一份人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac>bd B．a－c>b－d
C．a＋c>b＋d D.eq \f(a,d)>eq \f(b,c)
答案 C
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M >N B．M ≥N C．M答案 A
解析 ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0.∴M >N.
3．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a) C．(－3,4) D．(2a,6a)
答案 B
解析 方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，
且4a<－3a，∴4a4．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则eq \f(y2,xz)的最小值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
答案 A
解析 由题意知y＝eq \f(x＋3z,2)，所以eq \f(y2,xz)＝eq \f(x2＋9z2＋6xz,4xz)＝eq \f(x2＋9z2,4xz)＋eq \f(3,2)≥eq \f(2\r(9x2z2),4xz)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.当且仅当x2＝9z2时等号成立，所以eq \f(y2,xz)的最小值为3.
5．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( )
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
答案 A
解析 令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－22－45－m≥0，,f2>0，,－\f(m－2,2)>2，))
解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2≥16，,m>－5，,m<－2.))⇒－56．如果lg3m＋lg3n≥4，那么m＋n的最小值为( )
A．4 B．4eq \r(3) C．9 D．18
答案 D
解析 ∵lg3m＋lg3n＝lg3mn≥4，
∴mn≥34，又由已知条件隐含着m>0，n>0.
故m＋n≥2eq \r(mn)≥2eq \r(34)＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值．
所以m＋n的最小值为18.
7．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )
A．[1,3] B．[－3,1] C．[－1,3] D．[－3，－1]
答案 C
解析 直线m＝y－x斜率k1＝1＞kAB＝eq \f(2,3)，
∴经过C时m最小为－1，经过B时m最大为3.
8．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a1))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a1))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,a3)))
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，得1－2aix＋(aix)2<1，
即aix(aix－2)<0.又a1>a2>a3>0，
∴0∵eq \f(2,a3)>eq \f(2,a2)>eq \f(2,a1)>0，
∴09．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A.eq \f(24,5) B.eq \f(28,5) C．5 D．6
答案 C
解析 ∵x＋3y＝5xy，∴eq \f(1,5y)＋eq \f(3,5x)＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))
＝eq \f(3x,5y)＋eq \f(9,5)＋eq \f(4,5)＋eq \f(12y,5x)≥eq \f(13,5)＋2eq \r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，
当且仅当eq \f(3x,5y)＝eq \f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq \f(1,2)时等号成立．
10．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3]
答案 D
解析 ∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.
又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，
∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmax＝3.∴z∈[－3,3]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为∅，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，∴－112．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
答案 (－7,3)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)＜5可化为f(|x＋2|)＜5，即|x＋2|2－4|x＋2|＜5，(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)＜0，所以|x＋2|＜5，解得－7＜x＜3，所以不等式f(x＋2)＜5的解集是(－7,3)．
13．若变量x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y≤0，,x－3y＋5≥0，))则z＝x＋y的最大值为________．
答案 eq \f(5,2)
解析 作出可行域如图所示，作出直线l：x＋y＝0，由图可知当l平移到A点时，z最大．
解方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＝0，,x－3y＋5＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,8)，,y＝\f(15,8)，))
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)，\f(15,8)))，∴zmax＝eq \f(5,8)＋eq \f(15,8)＝eq \f(20,8)＝eq \f(5,2).
14．设a＋b＝2，b＞0, 则当a＝________时，eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)取得最小值.
答案 －2
解析 因为a＋b＝2，所以eq \f(1,2|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a＋b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)＝eq \f(a,4|a|)＋eq \f(b,4|a|)＋eq \f(|a|,b)≥1＋eq \f(a,4|a|).显然当a＜0时取最小值，当且仅当eq \f(b,4|a|)＝eq \f(|a|,b)，即b＝2|a|时，上式取等号，此时b＝－2a，联立a＋b＝2，解得a＝－2，此时1＋eq \f(a,4|a|)＝1－eq \f(2,4×2)＝eq \f(3,4).
三、解答题
15．当x>3时，求函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域．
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝eq \f(2x2,x－3)＝eq \f(2x－32＋12x－3＋18,x－3)
＝2(x－3)＋eq \f(18,x－3)＋12≥2eq \r(2x－3·\f(18,x－3))＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝eq \f(18,x－3)，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域为[24，＋∞)．
16．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2,\f(6,1－a)＝－3))，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq \f(3,2).
∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－1或x>\f(3,2))).
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
17．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得
x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,a<－1，,g－1≥0.))
解得－3≤a≤1.
18．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用工时分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≤400,2x＋y≤500,x≥0，y≥0))，目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y使f＝3x＋2y取得最大值．
作出可行域，如图．
设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(a,2)，
这是斜率为－eq \f(3,2)，随a变化的一组直线．
当直线与可行域相交且截距eq \f(a,2)最大，即过A点时，
目标函数f取得最大值．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝400，,2x＋y＝500))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝200，,y＝100.))
因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．