必修5第三章 不等式综合与测试巩固练习

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1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．
2．掌握简单的线性规划问题的解法．
3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．
eq \x(不等式)—eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(不等关系)—\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(不等式的性质),—\x(实数比较大小))),—\x(一元二次不等式)—\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(\a\al(一元二次不,等式的解法)),—\x(\a\al(一元二次不,等式的应用)))),—\x(简单线性规划)—\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(\a\al(二元一次不等式组,与平面区域)),—\x(简单线性规划),—\x(简单线性规划的应用))),—\x(基本不等式)—\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(算术平均数与几何平均数),—\x(基本不等式的应用)))))
一、选择题

1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0C.eq \r(ab)a＋b
答案 C
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)]，则不等式x2－bx－a<0的解是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(eq \f(1,3)，eq \f(1,2)) D．(－∞，eq \f(1,3))∪(eq \f(1,2)，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，a<0，eq \f(b,a)＝－eq \f(5,6)，－eq \f(1,a)＝eq \f(1,6)，
∴a＝－6，b＝5.
∴x2－5x＋6<0的解是(2,3)．
3．若变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≤40，,x＋2y≤50，,x≥0，,y≥0，))则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80 C．70 D．40
答案 C
解析 作出可行域如图所示 .
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－eq \f(1,2)，而3x＋2y＝0的斜率为－eq \f(3,2)，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.
4．不等式eq \f(x－1,x)≥2的解为( )
A．[－1,0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
答案 A
解析 eq \f(x－1,x)≥2⇔eq \f(x－1,x)－2≥0⇔eq \f(－x－1,x)≥0
⇔eq \f(x＋1,x)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx＋1≤0,x≠0))
⇔－1≤x<0.
5．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(eq \r(2)＋1)
B．a＋b有最大值(eq \r(2)＋1)2
C．ab有最大值eq \r(2)＋1
D．ab有最小值2(eq \r(2)＋1)
答案 A
解析 ∵ab－(a＋b)＝1，ab≤(eq \f(a＋b,2))2，
∴(eq \f(a＋b,2))2－(a＋b)≥1，
它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(eq \r(2)＋1)或a＋b≤2(1－eq \r(2))(舍去)．
∴a＋b有最小值2(eq \r(2)＋1)．
又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2eq \r(ab)，
∴ab－2eq \r(ab)≥1，它是关于eq \r(ab)的一元二次不等式，
解得eq \r(ab)≥eq \r(2)＋1，或eq \r(ab)≤1－eq \r(2)(舍去)，
∴ab≥3＋2eq \r(2)，即ab有最小值3＋2eq \r(2).
6．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)的最小值为( )
A.eq \f(25,6) B.eq \f(8,3) C.eq \f(11,3) D．4
答案 A
解析
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而eq \f(2,a)＋eq \f(3,b)＝(eq \f(2,a)＋eq \f(3,b))·eq \f(2a＋3b,6)＝eq \f(13,6)＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))≥eq \f(13,6)＋2＝eq \f(25,6)(a＝b＝eq \f(6,5)时取等号)．
二、填空题
7．已知x∈R，且|x|≠1，则x6＋1与x4＋x2的大小关系是________．
答案 x6＋1>x4＋x2
解析 x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)
∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2.
8．若函数f(x)＝eq \r(2x2－2ax－a－1)的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案 [－1,0]
解析 由f(x)＝eq \r(2x2－2ax－a－1)的定义域为R.
可知2x2－2ax－a≥1恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
9．若x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则eq \f(y2,xz)的最小值为____．
答案 3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝eq \f(x＋3z,2)，将其代入eq \f(y2,xz)，
得eq \f(x2＋9z2＋6xz,4xz)≥eq \f(6xz＋6xz,4xz)＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，∴eq \f(y2,xz)的最小值为3.
10．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案 15
解析 设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(7,10)y≥1.9，,x＋\f(1,2)y≤2，,x≥0，,y≥0.))
作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15.
三、解答题
11．已知关于x的不等式eq \f(ax－5,x2－a)<0的解集为M.
(1)若3∈M，且5∉M，求实数a的取值范围．
(2)当a＝4时，求集合M.
解 (1)∵3∈M，∴eq \f(3a－5,9－a)<0，解得a9；
若5∈M，则eq \f(5a－5,25－a)<0，
解得a<1或a>25.
则由5∉M，知1≤a≤25，
因此所求a的范围是1≤a(2)当a＝4时，eq \f(4x－5,x2－4)<0.
eq \f(4x－5,x2－4)<0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－5>0,x2－4<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－5<0,x2－4>0)).
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(5,4),－22))
⇔eq \f(5,4)∴M＝{x|x<－2或eq \f(5,4)12．当x>3时，求函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域．
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝eq \f(2x2,x－3)＝eq \f(2x－32＋12x－3＋18,x－3)
＝2(x－3)＋eq \f(18,x－3)＋12≥2eq \r(2x－3·\f(18,x－3))＋12
＝24.
当且仅当2(x－3)＝eq \f(18,x－3)，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域为[24，＋∞)．
【能力提升】
13．设a＞b＞0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)＝a2－ab＋ab＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,aa－b)＝a(a－b)＋eq \f(1,aa－b)＋ab＋eq \f(1,ab)≥2＋2＝4.
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
14．若关于x的不等式(2x－1)2答案 (eq \f(25,9)，eq \f(49,16)]
解析 由(2x－1)20，整理不等式可得(4－a)x2－4x＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0即eq \f(2－\r(a),2＋\r(a)2－\r(a))亦即eq \f(1,4)解得eq \f(25,9)1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．
2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6