人教版新课标A必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理当堂达标检测题

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1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.eq \r(3)＋1B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6)D．2＋2eq \r(3)
【解析】 由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，
∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6).
【答案】 C
2．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则∠B等于( )
A．45°或135°B．135°
C．45°D．以上答案都不对
【解析】 ∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠B＝45°或135°.
但当∠B＝135°时，不符合题意，
所以∠B＝45°，故选C.
【答案】 C
3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )
A．1∶2∶3B．1∶eq \r(3)∶2
C．2∶eq \r(3)∶1D．eq \r(3)∶1∶2
【解析】 设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，
则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°
＝eq \f(1,2)∶eq \f(\r(3),2)∶1＝1∶eq \r(3)∶2.
【答案】 B
4．在△ABC中，若3b＝2eq \r(3)asin B，cs A＝cs C，则△ABC形状为( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】 由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，
则3b＝2eq \r(3)a·sin B可化为：
3sin B＝2eq \r(3)sin A·sin B.
∵0°<∠B<180°，
∴sin B≠0，
∴sin A＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠A＝60°或120°，
又cs A＝cs C，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
【答案】 C
二、填空题
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
【解析】 由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3).
【答案】 eq \f(\r(6),3)
6．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________.
【解析】 在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，
∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1.
【答案】 1
7．在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，则B＝________.
【解析】 由正弦定理得eq \r(3)sin A＝2sin B·sin A，
∵sin A≠0，∴sin B＝eq \f(\r(3),2).
又0∴B＝60°或120°.
【答案】 60°或120°
三、解答题
8．在△ABC中，已知eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，试判断△ABC的形状. 【导学号：05920059】
【解】 令eq \f(a,sin A)＝k，
由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入已知条件，得eq \f(sin A,cs A)＝eq \f(sin B,cs B)＝eq \f(sin C,cs C)，
即tan A＝tan B＝tan C.
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝eq \f(1,2)，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．
【解】 由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即b＝eq \f(a·sin B,sin A)＝eq \f(3×\f(1,2),sin 60°)＝eq \r(3).
由于∠A＝60°，则∠B<120°，
又sin B＝eq \f(1,2)，
∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝eq \f(asin C,sin A)＝2eq \r(3).
[能力提升]
1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则eq \f(2sin2B－sin2A,sin2A)的值为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C．1 D．eq \f(7,2)
【解析】 ∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(b,a).
∵3a＝2b，∴eq \f(b,a)＝eq \f(3,2).
∴eq \f(sin B,sin A)＝eq \f(3,2).
∴eq \f(2sin2B－sin2A,sin2A)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin B,sin A)))2－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－1
＝eq \f(9,2)－1＝eq \f(7,2).
【答案】 D
2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsin AB．a＝bsin A
C．a【解析】 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴asin B＝bsin A，在△ABC中，0【答案】 D
3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,4)，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A＝eq \f(π,6).(试在横线上将条件补充完整)
【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b的长度，则由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(\r(3)sin \f(π,4),sin \f(π,6))＝eq \r(6)；(2)若破损处的条件为边c的长度，由A＋B＋C＝π，B＝eq \f(π,4)，A＝eq \f(π,6)，知C＝eq \f(7π,12)，再运用正弦定理，得c＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2).
【答案】 b＝eq \r(6)或c＝eq \f(3\r(2)＋\r(6),2)
4．已知方程x2－bcs Ax＋acs B＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，∠A、∠B为a、b的对角，试判断△ABC的形状．
【解】 设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1＋x2＝bcs A，x1x2＝acs B，由题意得bcs A＝acs B.
由正弦定理得2Rsin Bcs A＝2Rsin Acs B.
∴sin Acs B－cs Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
在△ABC中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π.
∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.