数学必修51.1 正弦定理和余弦定理当堂检测题

这是一份数学必修51.1 正弦定理和余弦定理当堂检测题，共5页。

1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形
【解析】 由题意知eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，即cs C<0，
∴△ABC为钝角三角形．
【答案】 C
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
【解析】 由余弦定理的推论知
cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(19,35)，
∴eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝|eq \(AB,\s\up14(→))|·|eq \(BC,\s\up14(→))|·cs(π－B)＝7×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19,35)))＝－19.
【答案】 D
3．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且bA．3 B．2eq \r(2) C．2 D．eq \r(3)
【解析】 由a2＝b2＋c2－2bccs A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b【答案】 C
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq \r(3)bc，sin C＝2eq \r(3)sin B，则A＝( )
A．30°B．60°
C．120°D．150°
【解析】 ∵sin C＝2eq \r(3)sin B，由正弦定理，得c＝2eq \r(3)b，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq \f(－\r(3)bc＋2\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
【答案】 A
5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))
【解析】 cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a－c2＋ac,2ac)
＝eq \f(a－c2,2ac)＋eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)，
∵0∴B∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2014·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq \r(3)，则AB等于 ．
【解析】 ∵A＝60°，AC＝2，BC＝eq \r(3)，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs A，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.
【答案】 1
7．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是 ．
【解析】 由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cs B＝eq \f(25＋64－49,2×5×8)＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3).
【答案】 eq \f(π,3)
8．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝eq \f(1,4)a,2sin B＝3sin C，则cs A的值为 ．
【解析】 由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq \f(3,2)c.又b－c＝eq \f(1,4)a，
∴eq \f(1,2)c＝eq \f(1,4)a，即a＝2c.由余弦定理得
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq \f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq \f(1,4).
【答案】 －eq \f(1,4)
三、解答题
9．在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝eq \r(37)，求最大角．
(2)b＝eq \r(6)，c＝2，B＝60°，求a.
【解】 (1)显然角C最大，
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq \f(1,2)，∴C＝120°.
(2)法一 由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(2sin 60°,\r(6))＝eq \f(\r(3),\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
∴C＝45°或C＝135°.
∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.
∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bccs A＝6＋4－4eq \r(6)×cs 75°＝10－4eq \r(6)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝4＋2eq \r(3)，
∴a＝eq \r(4＋2\r(3))＝eq \r(3)＋1.
法二 ∵b2＝a2＋c2－2accs B，
∴6＝a2＋4－4acs 60°＝a2＋4－2a.
∴a2－2a－2＝0.
解得a＝1＋eq \r(3)或a＝1－eq \r(3)(不合题意，舍去)，
∴a＝1＋eq \r(3).
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，2cs (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
【解】 (1)∵cs C＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，且C∈(0，π)，
∴C＝eq \f(2π,3).
(2)∵a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))
∴AB2＝b2＋a2－2abcs 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝eq \r(10).
[能力提升]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
【解析】 由2c2＝2a2＋2b2＋ab得，
a2＋b2－c2＝－eq \f(1,2)ab，
所以cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(－\f(1,2)ab,2ab)＝－eq \f(1,4)<0，
所以90°即三角形为钝角三角形，故选A.
【答案】 A
2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是( )
A．(eq \r(5)，5)B．(1, eq \r(5))
C．(eq \r(5)，eq \r(13))D．(eq \r(13)，5)
【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22＋32－x2>0，,22＋x2－32>0，))解得eq \r(5)【答案】 C
3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq \f(sin 2A,sin C)＝ .
【解析】 由正弦定理得eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(a,c)，由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴eq \f(sin 2A,sin C)＝eq \f(2sin Acs A,sin C)＝2·eq \f(sin A,sin C)·cs A＝2×eq \f(4,6)×eq \f(52＋62－42,2×5×6)＝1.
【答案】 1
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cs B＝eq \f(7,9). 【导学号：05920060】
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
【解】 (1)由b2＝a2＋c2－2accs B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cs B)，
又b＝2，a＋c＝6，cs B＝eq \f(7,9)，
所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4\r(2),9)，
由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(2\r(2),3).
因为a＝c，所以A为锐角，所以cs A＝eq \r(1－sin2A)＝eq \f(1,3).
因此sin(A－B)＝sin Acs B－cs Asin B＝eq \f(10\r(2),27).