高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和综合训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和综合训练题，共6页。

1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7B．15
C．20D．25
【解析】 S5＝eq \f(5×a1＋a5,2)＝eq \f(5×a2＋a4,2)＝eq \f(5×6,2)＝15.
【答案】 B
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq \f(a5,a3)＝eq \f(5,9)，则eq \f(S9,S5)等于( )
A．1B．－1
C．2D．eq \f(1,2)
【解析】 eq \f(S9,S5)＝eq \f(\f(9,2)a1＋a9,\f(5,2)a1＋a5)＝eq \f(9×2a5,5×2a3)
＝eq \f(9a5,5a3)＝eq \f(9,5)×eq \f(5,9)＝1.
【答案】 A
3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于( )
A．9B．10
C．11D．12
【解析】 ∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.
d＝eq \f(a4－a1,3)＝2，
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)·d
＝n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＝100，
∴n＝10.
【答案】 B
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A.eq \f(17,2) B.eq \f(19,2) C．10 D．12
【解析】 ∵公差为1，
∴S8＝8a1＋eq \f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq \f(1,2)，
∴a10＝a1＋9d＝eq \f(1,2)＋9＝eq \f(19,2).故选B.
【答案】 B
5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15B．12
C．－12D．－15
【解析】 a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]
＝3×5＝15.
【答案】 A
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝ .
【解析】 a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋eq \f(1,2)×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
7．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝ .
【解析】 设公差为d，则由已知得S7＝eq \f(7a1＋a7,2)，即21＝eq \f(7a1＋5,2)，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝eq \f(2,3).所以S10＝10a1＋eq \f(10×9,2)d＝10＋eq \f(10×9,2)×eq \f(2,3)＝40.
【答案】 40
8．若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,nn＋1)))的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(19,20)，则n＝ . 【导学号：05920068】
【解析】 Sn＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,nn＋1)＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1).
由已知得eq \f(n,n＋1)＝eq \f(19,20)，
解得n＝19.
【答案】 19
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
【解】 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝a1＋9d＝30，,a20＝a1＋19d＝50，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝12，,d＝2，))
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋eq \f(nn－1,2)×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图2­3­2所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：
图2­3­2
(1)第9圈共有多少块石板？
(2)前9圈一共有多少块石板？
【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.
由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：
a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．
(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：
S9＝9a1＋eq \f(9×9－1,2)d＝9×9＋eq \f(9×8,2)×9＝405(块)．
答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．
[能力提升]
1．如图2­3­3所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于( )
图2­3­3
A.eq \f(3n2,2)B.eq \f(nn＋1,2)
C.eq \f(3nn－1,2)D．eq \f(nn－1,2)
【解析】 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，
所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝eq \f(n－13＋3n－3,2)
＝eq \f(3nn－1,2).
【答案】 C
2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )
A．15B．24
C．18D．28
【解析】 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，
∴6a1＋(n＋12)d＝24.
又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，
所以a1＋5d为定值．
所以eq \f(n＋12,6)＝5，n＝18.
【答案】 C
3．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于 ．
【解析】 由a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为eq \f(1,2)的等差数列，故S9＝9a1＋eq \f(9×9－1,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27.
【答案】 27
4．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，aeq \\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和．
【解】 (1)由aeq \\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3，①
可知aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
②－①，得aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝aeq \\al(2,n＋1)－aeq \\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2.
又aeq \\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,2n＋12n＋3)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,7)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))
＝eq \f(n,32n＋3).