人教版新课标A必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和课时练习

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1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于( )
A．1 B．0 C．1或0 D．－1
【解析】 因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝eq \f(an,an－1)＝1.
【答案】 A
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9)
【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，,a1q4＝9，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝9a1，,a1q4＝9，))
解得a1＝eq \f(1,9)，故选C.
【答案】 C
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
【解析】 设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝eq \f(1,2)，n＝7，由eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))＝381，
解得a1＝192.
【答案】 C
4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为( )
A．2n B．2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
【解析】 法一 特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.
法二 看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.
∴Sn＝eq \f(22n－1,2－1)－n＝2n＋1－n－2.
【答案】 D
5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为eq \f(5,4)，则S5＝( )
A．35 B．33
C．31 D．29
【解析】 设数列{an}的公比为q，
∵a2·a3＝aeq \\al(2,1)·q3＝a1·a4＝2a1，
∴a4＝2.
又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3
＝2×eq \f(5,4)，
∴q＝eq \f(1,2).
∴a1＝eq \f(a4,q3)＝16，S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝31.
【答案】 C
二、填空题
6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
【解析】 ∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，
∴eq \f(a11－43,1－4)＝21，
∴a1＝1，∴an＝4n－1.
【答案】 4n－1
7．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【解析】 法一 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二 因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为eq \f(1－24,1－2)＝15.
【答案】 15
8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
【解析】 ∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.
【答案】 6
三、解答题
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. 【导学号：05920072】
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【解】 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，从而q＝－eq \f(1,2).
(2)由已知可得a1－a1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＝3，
故a1＝4.
从而Sn＝eq \f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \f(8,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n)).
10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq \f(1,2)b2＋eq \f(1,3)b3＋…＋eq \f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，eq \f(1,n)bn＝bn＋1－bn.
整理得eq \f(bn＋1,n＋1)＝eq \f(bn,n)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)等于( )
A．(2n－1)2 B.eq \f(1,3)(2n－1)2
C．4n－1 D.eq \f(1,3)(4n－1)
【解析】 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，aeq \\al(2,n)＝4n－1，所以aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)＝eq \f(1,3)(4n－1)．
【答案】 D
2．如图2­5­1，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为( )
图2­5­1
A.eq \f(πa2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π
C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π D．3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π
【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为eq \f(\r(3),6)×3＝eq \f(\r(3),2)，面积为eq \f(3,4)π，第二个内切圆的半径为eq \f(\r(3),4)，面积为eq \f(3,16)π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为eq \f(3,4)π，公比为eq \f(1,4)，故面积之和为eq \f(\f(3,4)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n)))π.
【答案】 B
3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．
【解析】 每天植树棵数构成等比数列{an}，
其中a1＝2，q＝2，则Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102，∴n≥6，∴最少天数n＝6.
【答案】 6
4．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d＞1时，记cn＝eq \f(an,bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】 (1)由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10a1＋45d＝100，,a1d＝2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋9d＝20，,a1d＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝9，,d＝\f(2,9).))
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝2n－1，,bn＝2n－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an＝\f(1,9)2n＋79，,bn＝9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,9)))n－1.))
(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝eq \f(2n－1,2n－1)，
于是Tn＝1＋eq \f(3,2)＋eq \f(5,22)＋eq \f(7,23)＋eq \f(9,24)＋…＋eq \f(2n－1,2n－1)，①
eq \f(1,2)Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,22)＋eq \f(5,23)＋eq \f(7,24)＋…＋eq \f(2n－3,2n－1)＋eq \f(2n－1,2n).②
①－②可得
eq \f(1,2)Tn＝2＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n－2)－eq \f(2n－1,2n)＝3－eq \f(2n＋3,2n)，
故Tn＝6－eq \f(2n＋3,2n－1).