人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性课后测评

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1．(2016·新余高二检测)某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40y
B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥10，,2x＋y≥10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40y
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，))z＝20x＋40y
D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝40x＋20y
【解析】 由题意易知选A.
【答案】 A
2．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))则z＝2x－y的最小值等于( )
A．－eq \f(5,2) B．－2
C．－eq \f(3,2) D．2
【解析】 作出可行域如图，
由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2＝0，,x＋2y＝0，))得点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，
zmin＝2×(－1)－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,2).
【答案】 A
3．设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，6)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－1))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，6)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－6，\f(3,2)))
【解析】 作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－eq \f(3,2)，在B点处z取最大值为6.
【答案】 A
4．已知实数x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≤1，,2x－2y＋1≤0，))若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2) D．－1
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
【答案】 A
5．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
【答案】 D
二、填空题
6．满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤5，,2x＋y≤6，,x≥0，,y≥0，))并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
【解析】 首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大．
【答案】 (0,5)
7．若实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝3x＋2y的最小值是________. 【导学号：05920078】
【解析】 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
设t＝x＋2y，
则y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(t,2)，
当x＝0，y＝0时，t最小＝0.
z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】 1
8．设关于x，y的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋1>0，,x＋m<0，,y－m>0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．
【解析】 由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需点A(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2>0，解得m<－eq \f(2,3).
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3)))
三、解答题
9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？
【解】 设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤12，,2x＋y≤19，,10x＋6y≥72，,x≤8，y≤7，,x∈N*，y∈N*.))
目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，
即zmax＝450×7＋350×5＝4 900.
10．(2015·辽宁三校联考)变量x，y满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x＞－1，))求(x－2)2＋y2的最小值．
【解】 不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≤0，,y≤1，,x＞－1))在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．
设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方．由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥eq \r(22＋1)＝eq \r(5)，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2≥5.
[能力提升]
1．(2014·北京高考)若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A－eq \f(2,k)，0.
∵z＝y－x的最小值为－4，∴eq \f(2,k)＝－4，解得k＝－eq \f(1,2)，故选D.
【答案】 D
2．(2014·山东高考)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2eq \r(5)时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C.eq \r(5) D．2
【解析】 法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,2x－y－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2eq \r(5)，
a2＋b2＝a2＋(2eq \r(5)－2a)2＝(eq \r(5)a－4)2＋4≥4.
法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2eq \r(5).又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当eq \r(a2＋b2)为原点到直线2a＋b－2eq \r(5)＝0的距离时最小，所以eq \r(a2＋b2)的最小值是eq \f(|－2\r(5)|,\r(22＋12))＝2，所以a2＋b2的最小值是4.故选B.
【答案】 B
3．(2014·浙江高考)当实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤2a＋1≤4，,1≤a≤4))即可，
解得1≤a≤eq \f(3,2)，
所以a的取值范围是1≤a≤eq \f(3,2).
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
4．设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值．
【解】 可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1≤13，,4a1＋\f(4×3,2)d≥10，,5a1＋\f(5×4,2)d≤15，))
化简为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1≤13，,2a1＋3d≥5，,a1＋2d≤3，))求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤13，,2x＋3y≥5，,x＋2y≤3，))求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示．
由z＝x＋3y，得y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(z,3)，平移直线y＝－eq \f(1,3)x，由图可知，
当直线y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(z,3)过点A时，z有最大值．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝5，,x＋2y＝3，))得A(1,1)，
所以zmax＝1＋1×3＝4，
即a4的最大值为4.
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8