高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试习题

 www.ks5u.com模块综合测评(二)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是(　　)

A．2n   B．2n＋1

C．2n－1   D．2n－1

【解析】　取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.

【答案】　C

2．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　)

A．{x|x≤－1或x≥5}

B．{x|x<－1或x>5}

C．{x|1<x<5}

D．{x|－1≤x≤5}

【解析】　不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.

【答案】　B

3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于(　　)

A．16  B．32

C．64  D．256

【解析】　∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a(an>0)，∴a8·a10·a12＝a＝64.

【答案】　C

4．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg>lg x(x>0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

【解析】　

【答案】　C

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于(　　)

A.   B.

C．1   D.

【解析】　∵a＝3bsin A，

∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，

∴sin B＝.

∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选 A.

【答案】　A

6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(　　)

A．T10   B．T13

C．T17   D．T25

【解析】　由等比数列的性质得

a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a，而T17＝a，故T17为常数．

【答案】　C

7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于(　　)

A．－3   B．1

C．－1   D．3

【解析】　由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，

∴a＋b＝－3.

【答案】　A

8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

【解析】　远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.

请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.

代入公式Sn＝，

即381＝，

∴a1＝＝3.

∴此塔顶有3盏灯．

【答案】　B

9．若实数x，y满足则的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(0,1]

C．(1，＋∞)   D．[1，＋∞)

【解析】　实数x，y满足

的相关区域如图中的阴影部分所示．

表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，的取值范围为(1，＋∞)．

【答案】　C

10．在△ABC中，若c＝2bcos A，则此三角形必是(　　)

A．等腰三角形

B．正三角形

C．直角三角形

D．有一角为30°的直角三角形

【解析】　由正弦定理得sin C＝2cos Asin B，

∴sin (A＋B)＝2cos Asin B，

即sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，

即sin Acos B－cos Asin B＝0，

所以sin (A－B)＝0.

又因为－π<A－B<π，

所以A－B＝0，

即A＝B.

【答案】　A

11．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)

A．2＋2  B．2－2

C．2  D．2

【解析】　∵x>1，

∴x－1>0.

∴y＝＝

＝

＝

＝x－1＋＋2

≥2＋2.

【答案】　A

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)

A.   B.－1

C．2   D．2－

【解析】　由·＝，得accos B＝，

∴2accos B＝1.

又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，

∴a2－b2＋c2＝1，

∴tan B＝＝2－.

【答案】　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式

2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】

【解析】　点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．

由题意知

解得<b<.

【答案】　

14．(2015·江苏高考)设数列满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．

【解析】　由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.

又∵a1＝1，

∴an＝(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，

∴an＝(n∈N*)．

∴＝＝2.

∴S10＝2×＝2×＝.

【答案】　

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

【解析】　∵＝＝＝2R，a＝2，

又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C

可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，

∴a2－b2＝c2－bc，

∴b2＋c2－a2＝bc.

∴＝＝＝cos A，

∴A＝60°.

∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°

＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，

∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.

【答案】　

16．若<<0，已知下列不等式：

①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④＋>2；

⑤a2>b2；⑥2a>2b.

其中正确的不等式的序号为______．

【解析】　∵<<0，

∴b<a<0，故③错；

又b<a<0，可得|a|<|b|，a2<b2，

故②⑤错，可证①④⑥正确．

【答案】　①④⑥

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)问前几项的和最大，并说明理由．

【解】　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，

∵S12>0，S13<0，

∴

即

∴－<d<－3.

(2)∵S12>0，S13<0，

∴

∴

∴a6>0，

又由(1)知d<0.

∴数列前6项为正，从第7项起为负．

∴数列前6项和最大．

18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．

【解】　∵

∴

∵0≤α≤1,1≤β≤2，

∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.

∴

建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．

令k＝，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．

取B(－1,0)，C(－3,1)，

则kAB＝，kAC＝，

∴≤≤.

故的最大值是，最小值是.

19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C＝0.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，试求当△ABC的面积取最大值时，△ABC的形状. 【导学号：05920090】

【解】　(1)∵(2b－c)cos A－acos C＝0，

由余弦定理得(2b－c)·－a·＝0，

整理得b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝＝，

∵0<A<π，

∴A＝.

(2)由(1)得b2＋c2－bc＝3及b2＋c2≥2bc得bc≤3.

当且仅当b＝c＝时取等号．

∴S△ABC＝bcsin A≤×3×＝.

从而当△ABC的面积最大时，a＝b＝c＝.

∴当△ABC的面积取最大值时△ABC为等边三角形．

20．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.

(1)求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.

【解】　(1)∵函数y＝的定义域为R，∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．

①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；

②当a≠0时，则

解得0<a≤1.

综上可知，a的取值范围是[0,1]．

(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.

∵0≤a≤1，

∴①当1－a>a，

即0≤a<时，

a<x<1－a；

②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；

③当1－a<a，即<a≤1时，

1－a<x<a.

综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a,1－a)；

当a＝时，原不等式的解集为∅；

当<a≤1时，原不等式的解集为(1－a，a)．

21．(本小题满分12分)若数列{an}满足a－a＝d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an>0，a1＝1，a5＝3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【解】　(1)由a＝1，a＝9，

得a－a＝4d，

∴d＝2.

a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，

∵an>0，

∴an＝.

数列{an}的通项公式为an＝.

(2)an＝(2n－1)，

设Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，①

Sn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)· ，②

①－②，得

Sn＝＋2－(2n－1)·

＝＋2·－(2n－1)·，

即Sn＝3－，

即数列的前n项和为3－.

22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)

图1

【解】　轮船从点C到点B用时80分钟，从点B到点E用时20分钟，而船始终匀速航行，

由此可见，BC＝4EB.

设EB＝x，则BC＝4x，

由已知得∠BAE＝30°，

在△AEC中，由正弦定理得

＝，

即sin C＝＝＝，

在△ABC中，由正弦定理得

＝，

即AB＝＝＝＝.

在△ABE中，由余弦定理得

BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos 30°

＝25＋－2×5××＝，

所以BE＝(千米)．

故轮船的速度为v＝÷＝(千米/时)．