人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和课后练习题

 www.ks5u.com学业分层测评（十四）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)

A．1　　　B．0　　　C．1或0　　　D．－1

【解析】　因为Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差数列，所以an为定值，即数列{an}为常数列，所以q＝＝1.

【答案】　A

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

【解析】　设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

∴

∴

解得a1＝，故选C.

【答案】　C

3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是(　　)

A．190  B．191  C．192  D．193

【解析】　设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，

解得a1＝192.

【答案】　C

4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为(　　)

A．2n   B．2n－n

C．2n＋1－n   D．2n＋1－n－2

【解析】　法一　特殊值法，由原数列知S1＝1，S2＝4，在选项中，满足S1＝1，S2＝4的只有答案D.

法二　看通项，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.

∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2.

【答案】　D

5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)

A．35   B．33

C．31   D．29

【解析】　设数列{an}的公比为q，

∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，

∴a4＝2.

又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3

＝2×，

∴q＝.

∴a1＝＝16，S5＝＝31.

【答案】　C

二、填空题

6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

【解析】　∵在等比数列{an}中，前3项之和等于21，

∴＝21，

∴a1＝1，∴an＝4n－1.

【答案】　4n－1

7．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.

【解析】　法一　a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.

法二　因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.

【答案】　15

8．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.

【解析】　∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.

【答案】　6

三、解答题

9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. 【导学号：05920072】

(1)求{an}的公比q；

(2)若a1－a3＝3，求Sn.

【解】　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，

由于a1≠0，故2q2＋q＝0.

又q≠0，从而q＝－.

(2)由已知可得a1－a12＝3，

故a1＝4.

从而Sn＝＝.

10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．

(1)求an与bn；

(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.

【解】　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．

由题意知：

当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.

当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.

整理得＝，

所以bn＝n(n∈N*)．

(2)由(1)知anbn＝n·2n，

因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，

2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，

所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.

故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．

[能力提升]

1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a＋a＋…＋a等于(　　)

A．(2n－1)2   B.(2n－1)2

C．4n－1   D.(4n－1)

【解析】　a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．

【答案】　D

2．如图2­5­1，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　)

图2­5­1

A.   B.π

C．2π   D．3π

【解析】　根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.

【答案】　B

3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．

【解析】　每天植树棵数构成等比数列{an}，

其中a1＝2，q＝2，则Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102，∴n≥6，∴最少天数n＝6.

【答案】　6

4．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

【解】　(1)由题意有

即

解得或

故或

(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，

于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①

Tn＝＋＋＋＋…＋＋.②

①－②可得

Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，

故Tn＝6－.