2020-2021学年3.1 不等关系与不等式习题

 www.ks5u.com学业分层测评（十八）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．不等式>0的解集是(　　)

A.

B.

C.

D.

【解析】　>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.

【答案】　A

2．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值集合为(　　)

A．{a|0<a<4}

B．{a|0≤a<4}

C．{a|0<a≤4}

D．{a|0≤a≤4}

【解析】　当a＝0时，有1<0，故A＝∅.

当a≠0时，若A＝∅，则有

解得0<a≤4.

综上，a∈{a|0≤a≤4}．

【答案】　D

3．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是(　　)

A．(－∞，0)∪(1，＋∞)

B．(－1,2)

C．(1,2)

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【解析】　∵ax－b>0的解集为(1，＋∞)，

∴a＝b>0，∴>0⇔>0，

∴x<－1或x>2.

【答案】　D

4．设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是(　　)

A．PQ　　　　 B．QP

C．P＝Q   D．P∩Q＝∅

【解析】　当m＝0时，－4<0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4<0对任意实数x∈R恒成立可得，

解得－1<m<0，

综上所述，Q＝{m|－1<m≤0}，

∴PQ，故选A.

【答案】　A

5．在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1<a<1

B．0<a<2

C．－<a<

D．－<a<

【解析】　(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立，∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－<a<.

【答案】　C

二、填空题

6．若a<0，则不等式>0的解集是________．

【解析】　原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)>0，

由于a<0，所以4a<－5a，

因此原不等式的解集为{x|x<4a或x>－5a}．

【答案】　{x|x<4a或x>－5a}

7．偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4，4]，f(x)在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图3­2­2所示，则不等式<0的解集为________．

图3­2­2

【解析】　由已知得当x∈(－4，－2)∪(2,4)时，f(x)>0，当x∈(－2,2)时，f(x)<0，当x∈(－4,0)时，g(x)>0，x∈(0,4)时，g(x)<0.

所以当x∈(－2,0)∪(2,4)时，<0.

所以不等式<0的解集为{x∈R|－2<x<0或2<x<4}．

【答案】　{x∈R|－2<x<0或2<x<4}

8．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

【解析】　设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.

【答案】　[3,5]

三、解答题

9．(2016·亳州高二检测)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}. 【导学号：05920076】

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

【解】　(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.

∴所求不等式的解集为.

(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)

【解】　(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为

y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

[能力提升]

1．若实数α，β为方程x2－2mx＋m＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为(　　)

A．8  B．14

C．－14  D．－

【解析】　∵Δ＝(－2m)2－4(m＋6)≥0，

∴m2－m－6≥0，∴m≥3或m≤－2.

(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m)2－2(m＋6)－2(2m)＋2＝4m2－6m－10＝42－，∵m≥3或m≤－2，∴当m＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.

【答案】　A

2．函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．[1，＋∞)

C．[0,1]  D．(－∞，0]

【解析】　kx2－6kx＋(k＋8)≥0恒成立，

当k＝0时，满足．

当k≠0时，⇒0＜k≤1.

综上，0≤k≤1.

【答案】　C

3．若不等式＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．

【解析】　∵x2－8x＋20＝(x－4)2＋4＞0，

∴只需mx2－mx－1＜0恒成立．

故m＝0或

∴－4＜m≤0.

【答案】　－4＜m≤0

4．设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．

【解】　原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0.

令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2,2], 则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2,2]上的函数值恒小于零．

(1)当x2－1＝0时，由f(m)＝－(2x－1)＜0得x＝1；

(2)当x2－1＞0时，f(m)在[－2,2]上是增函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需

解得1＜x＜；

(3)当x2－1＜0时，f(m)在[－2,2]上是减函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需

解得＜x＜1.

综合(1)(2)(3)，得＜x＜.