2021学年3.2导数的计算课时作业

3.2.2　基本初等函数的导数公式

及导数的运算法则(二)

课时目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能综合利用求导公式和导数的四则运算法则求解导函数．

导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；

(2)[cf(x)]′＝________ (c为常数)；

(3)[f(x)·g(x)]′＝______________；

(4)′＝________________ (g(x)≠0)．

一、选择题

1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为(　　)

A．3x2＋3x                          B．3x2＋3x·ln 3＋

C．3x2＋3x·ln 3                      D．x3＋3x·ln 3

2．曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是(　　)

A．x－y＋1＝0                      B．2x－y＋1＝0

C．x－y－1＝0                      D．x－2y＋2＝0

3．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于(　　)

A．18                             B．－18

C．8                              D．－8

4．设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)

A．[－2,2]                        B．[，]

C．[，2]                       D．[，2]

5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)

A.e2                            B.e2

C．2e2                           D．e2

6．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝x－1                      B．y＝－x＋1

C．y＝2x－2                     D．y＝－2x＋2

二、填空题

7．曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

8．某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________ m/s.

9．已知函数f(x)＝x2·f′(2)＋5x，则f′(2)＝______.

三、解答题

10．求下列函数的导数．

(1)y＝；

(2)y＝2xcos x－3xlog2 009x；

(3)y＝x·tan x.

11.求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．

能力提升

12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A．[0，)                   B．[，)

C．(，]                  D．[，π)

13．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．

2．应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．

3．2.2　基本初等函数的导数公式及

导数的运算法则(二)

答案

知识梳理

(1)f′(x)±g′(x)　(2)c·f′(x)

(3)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

(4)

作业设计

1．C　[(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝的错误．]

2．A　[y′＝ex＋xex，当x＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y＝x＋1，

即x－y＋1＝0.]

3．A　[∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，

由⇒

∴∴a＋b＝5＋13＝18.]

4．D　[由已知f′(x)＝sin θ·x2＋cos θ·x，

∴f′(1)＝sin θ＋cos θ＝2sin，

又θ∈.∴≤θ＋≤，

∴≤sin≤1，∴≤f′(1)≤2.]

5．A　[∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝y′|x＝2＝e2.

∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为

y－e2＝e2(x－2)，

即y＝e2x－e2.

当x＝0时，y＝－e2，

当y＝0时，x＝1.

∴S△＝×1×|－e2|＝e2.]

6．A　[y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3－2＝1，

∴切线方程为y＝x－1.]

7．y＝2x＋3

解析　由f(x)＝sin x＋ex＋2

得f′(x)＝cos x＋ex，

从而f′(0)＝2，又f(0)＝3，

所以切线方程为y＝2x＋3.

8.

解析　∵s′＝2t－，

∴v＝s′|t＝4＝8－＝(m/s)．

9．－

解析　∵f′(x)＝f′(2)·2x＋5，

∴f′(2)＝f′(2)×2×2＋5，

∴3f′(2)＝－5，∴f′(2)＝－.

10．解　(1)y′＝

＝

＝.

(2)y′＝(2x)′cos x＋(cos x)′2x－3[x′log2 009 x＋(log2 009x)′x]

＝2xln 2·cos x－sin x·2x－3[log2 009 x＋x]

＝2xln 2·cos x－2xsin x－3log2 009 x－3log2 009 e.

(3)y′＝(xtan x)′＝′

＝

＝

＝

＝＝.

11．解　设P(x0，y0)为切点，

则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－2.

故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．              ①

∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0.                 ②

又∵(1，－1)在切线上，

∴将②式和(1，－1)代入①式得

－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．

解得x0＝1或x0＝－.

故所求的切线方程为

y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

12．D　[y′＝－＝－，

∵ex＋≥2，∴－1≤y′<0，即－1≤tan α<0，

∴α∈.]

13．解　依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线

x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．

∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝.

切点坐标为.

∴所求的最短距离d＝＝.