数学选修1-1第一章 常用逻辑用语综合与测试随堂练习题

 www.ks5u.com章末综合测评(一)　常用逻辑用语

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是(　　)

A．全称命题　　　　　　 B．特称命题

C．p∨q形式 D．p∧q形式

【解析】　此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．

【答案】　A

2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.

【答案】　C

3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)

A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x

C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x

【解析】　全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．

【答案】　D

4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是(　　)

A．若2x＋1是整数，则x∈Z

B．若2x＋1是奇数，则x∈Z

C．若2x＋1是偶数，则x∈Z

D．若2x＋1能被3整除，则x∈Z

【解析】　易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.

【答案】　A

5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧¬q B．¬p∧q

C．¬p∧¬q D．p∧q

【解析】　命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.

【答案】　A

6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)

A．全等三角形的面积不一定都相等

B．不全等三角形的面积不一定都相等

C．存在两个不全等三角形的面积相等

D．存在两个全等三角形的面积不相等

【解析】　命题是省略量词的全称命题．易知选D.

【答案】　D

7．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真，真，真 B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

【解析】　从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.

【答案】　A

8．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】　q⇒¬p等价于p⇒¬q，¬pDq等价于¬qDp.故p是¬q的充分而不必要条件．

【答案】　A

9．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)

A．a＜0 B．a＞0

C．a＜－1 D．a＞1

【解析】　一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根⇔＜0，解得a＜0，故a＜－1是它的一个充分不必要条件．

【答案】　C

10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　)

 【导学号：26160027】

A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5

C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5

【解析】　∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，

∴满足故

【答案】　A

11．下列命题中为真命题的是(　　)

A．∃x0∈R，ex0≤0

B．∀x∈R,2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．a>1，b>1是ab>1的充分条件

【解析】　对于∀x∈R，都有ex>0，故选项A是假命题；当x＝2时，2x＝x2，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a>1，b>1时，必有ab>1，但当ab>1时，未必有a>1，b>1，如当a＝－1，b＝－2时，ab>1，但a不大于1，b不大于1，故a>1，b>1是ab>1的充分条件，选项D是真命题．

【答案】　D

12．下列命题中真命题的个数为(　　)

①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题；

②设α，β∈，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件；

③命题“自然数是整数”是真命题；

④命题“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∃x0∈R，x＋x0＋1<0.”

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】　①命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x∈ 时，正切函数y＝tan x是增函数，所以当α，β∈时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∃x0∈R，x＋x0＋1≥0”，故④是假命题．

【答案】　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．设p：x＞2或x＜；q：x＞2或x＜－1，则¬p是¬q的________条件．

【解析】　¬p：≤x≤2.

¬q：－1≤x≤2.¬p⇒¬q，但¬qD¬p.

∴¬p是¬q的充分不必要条件．

【答案】　充分不必要

14．若命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】　若对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0，则Δ＝a2＋16a<0，即－16<a<0；若对于任意实数x，都有x2－2ax＋1>0，则Δ＝4a2－4<0，即－1<a<1，故命题“对于任意实数x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是真命题时，有a∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x，都有x2＋ax－4a>0且x2－2ax＋1>0”是假命题，故a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．

【答案】　(－∞，－1]∪[0，＋∞)

15．给出下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；

④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．

其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．

【解析】　②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．

【答案】　①③

16．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

【解析】　p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，

∵¬p是¬q的充分条件(即¬p⇒¬q)，∴q⇒p，

∴∴－1≤a≤6.

【答案】　[－1,6]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：

(1)36是6与18的倍数；

(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；

(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．

【解】　(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．

(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.

(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．

18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)全等三角形一定相似；

(2)末位数字是零的自然数能被5整除．

【解】　(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；

否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；

逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．

(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；

否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；

逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．

19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：

(1)所有自然数的平方是正数；

(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；

(4)有些质数不是奇数．

【解】　(1)所有自然数的平方是正数，假命题；

否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．

(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；

否定：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．

(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；

否定：∃x0∈R，x－3x0＋3≤0，假命题．

(4)有些质数不是奇数，真命题；

否定：所有的质数都是奇数，假命题．

20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．

【解】　由x－ax0＋1＝0有实根，

得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.

因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.

由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.

因此命题q为真命题的范围是a≥0.

根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2<a<2，q为假命题对应的范围是a<0.

这样得到二者均为假命题的范围就是⇒－2<a<0.

21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【解】　(1)由x2－4ax＋3a2<0，

得(x－3a)·(x－a)<0，

又a>0，所以a<x<3a，

当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，

实数x的取值范围是1<x<3，

由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，

所以q为真时，实数x的取值范围是2≤x≤3.

若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2,3)．

(2)设A＝{x|a<x<3a}，

B＝{x|2≤x≤3}，

由题意可知q是p的充分不必要条件，则BA，

所以⇒1<a<2，所以实数a的取值范围是(1,2)．

22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，试求实数a的取值范围. 【导学号：26160028】

【解】　由f(x)＝ax2＋x是二次函数，知a≠0.

|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]，①

当x＝0，a≠0时，①式显然成立；

当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－，

当x∈(0,1]时恒成立．

设t＝，则t∈[1，＋∞)，所以－t2－t≤a≤t2－t.

令f(t)＝－t2－t＝－2＋，t∈[1，＋∞)，

所以f(t)max＝－2.

令g(t)＝t2－t＝2－，t∈[1，＋∞)，

所以g(t)min＝0.所以只需－2≤a≤0.

综上所述，实数a的取值范围是[－2,0)．