数学选修1-11.2充分条件与必要条件课时训练

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课时提升作业 五

充要条件的应用

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的　(　　)

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.因为p:x<3,q:-1<x<3,所以q⇒p,但由p不能得出q,所以p是q成立的必要不充分条件,故选C.

2.(2016·长治高二检测)在下列3个结论中,正确的有　(　　)

①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;

②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;

③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.

A.①②   B.②③   C.①③   D.①②③

【解析】选C.对于①,由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4,但是x2>4⇒x>2或x<-2⇒x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故①正确;对于②,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错;对于③,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故③正确.

【误区警示】本题易错选②,原因是忽视了斜边、直角边的确定.

3.在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的　(　　)

A.必要不充分条件   B.充分不必要条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.在△ABC中,由“·=0”可知B为直角,则“△ABC是直角三角形”.三角形是直角三角形,不一定B=90°,所以在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件.

4.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的　(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件　　

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.

【解析】选A.由题意, x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.

5.(2016·宁德高二检测)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　(　　)

A.m=-2       B.m=2　

C.m=-1       D.m=1

【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断.

【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.下列命题中是假命题的是　　　　.(填序号)

(1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件

(2)“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

(3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R的充要条件

(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形

【解析】(1)因x>2且y>3⇒x+y>5,

x+y>5x>2且y>3,

故x>2且y>3是x+y>5的充分不必要条件.

(2)若x>1,则|x|>0成立,若|x|>0,则x<0或x>0,不一定大于1,故“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件.

(3)因b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R,

ax2+bx+c<0的解集为R⇒a<0且b2-4ac<0,

故b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的必要不充分条件.

(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.

答案:(1)(3)

7.(2016·池州高二检测)设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在上恒成立的　　　　条件.

【解析】由⇒

所以a+2b>0.

而仅有a+2b>0,无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立.

答案:必要不充分

【补偿训练】设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的

　　　　条件.

【解析】{an}为等比数列,an=a1·,由a1<a2<a3,得a1<a1q<a1q2,即a1>0,q>1或a1<0,0<q<1,则数列{an}为递增数列.反之也成立.

答案:充要

8.△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”成立的

　　　　条件.

【解析】条件:△ABC中,角A,B,C成等差数列⇔B=;结论:sinC=

(cosA+sinA)cosB⇔sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB⇔cosAsinB=

cosAcosB⇔cosA=0或sinB=cosB⇔A=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件.

答案:充分不必要

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(教材P12习题1.2A组T4改编)求圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.

【解析】因为圆是轴对称图形,所以圆面积被y轴平分等价于圆心在y轴上,即点(a,b)在y轴上,所以a=0是圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.

10.证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.

【解题指南】要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件.

【证明】必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,

则x=0,y=0,即xy=0,

故xy=0是x2+y2=0的必要条件;

不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,

故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.

综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·保定高二检测)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的　(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.|a·b|=|a||b||cosα|=|a||b|,得cosα=±1,α=0或π,故a∥b,反之,a∥b,则a,b的夹角为0或π得,|a·b|=|a||b|,故|a·b|=|a||b|是a∥b的充要条件.

2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的　(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p⇒q还是q⇒p.

【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t≥-.当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.

【补偿训练】已知真命题“a≥b⇒c>d”和“a≥b⇔e≤f”,那么“c>d”是“e≤f”的　(　　)

A.充分条件　　　　 B.必要条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.因为a≥b⇒c>d,a≥b⇔e≤f,所以e≤f⇒c>d.但是c>d不一定推出e≤f,

故“c>d”是“e≤f”的必要条件.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·温州高二检测)已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的　　　　.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)

【解题指南】化简条件q中的k值,再确定p与q的关系.

【解析】因为直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,

所以=1,解得k=±,即条件q:k=±.

若p成立,则q成立;反之,若q成立,推不出p成立.所以p是q的充分不必要条件.

答案:充分不必要条件

4.(2016·焦作高二检测)“a=”是“对任意的正数x,均有x+≥1”的　　　　条件.

【解析】当a=时,对任意的正数x,x+=x+≥2=1,而对任意的正数x,要使x+≥1,只需f(x)=x+的最小值大于或等于1即可,而在a为正数的情况下,f(x)=x+的最小值为f()=2≥1,得a≥,故为充分不必要条件.

答案:充分不必要

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件.

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.

(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件.

【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决.

【解析】由M∩P={x|5<x≤8}知,a≤8.

(1)M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5.

(2)M∩P={x|5<x≤8}的充分但不必要条件,显然,a在中任取一个值都可.

(3)若a=-5,显然M∩P=是M∩P={x|5<x≤8}的必要但不充分条件.

故a<-3时为必要不充分条件.

6.(2016·益阳高二检测)证明“0≤a≤”是“函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数”的充分不必要条件.

【证明】充分性:由已知0≤a≤,

对于函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,

当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数.当a≠0时,由已知0<a≤,得≥6.

二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2图象是抛物线,其开口向上,

对称轴方程为x==-1≥6-1=5.

所以二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数.

非必要性:当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2的图象是抛物线,其对称轴为x==-1.

因为二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数,

所以⇒0<a≤.

显然,函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数时,也有a=0.

由于,所以0≤a≤不是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的必要条件.

综上所述,命题成立.

【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

【证明】充分性:当q=-1时,a1=p-1.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时,上式也成立.

于是==p,即数列{an}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).

因为p≠0且p≠1,

所以==p.

因为{an}为等比数列,

所以==p=,所以q=-1.

所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

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