高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆第2课时达标测试

这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.1椭圆第2课时达标测试，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十一)椭圆方程及性质的应用(25分钟　60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为　(　　)A.1   B.1或2   C.2   D.0【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是　(　　)A.-<a<       B.a<-或a>C.-2<a<2        D.-1<a<1【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<.【拓展延伸】点与椭圆的位置关系已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则①点P在椭圆外⇔+>1；②点P在椭圆上⇔+=1；③点P在椭圆内⇔+<1.3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e=　(　　)A.   B.   C.   D.【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0，所以=c，因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为　(　　)A.   B.    C.    D.【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.所以4a=36，a=9.由已知=5，即=5.又a=9，解得c=6，解得=，即e=.4.(2015·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM=　(　　)A.-   B.-   C.-   D.-【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(-x1，-y1)，kAM·kBM=·===-.【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得kAM·kBM=-.【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为　(　　)A.e-1   B.1-e   C.e2-1   D.1-e2【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则+=1，+=1，两式作差得=所以kAB·kOM=·===e2-1.5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是　(　　)A.b2   B.ab   C.ac   D.bc【解析】选D.如图，=+=2.又因为|OF1|=c为定值，所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，此时的面积最大为bc.所以的最大值为bc.二、填空题(每小题5分，共15分)6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.【解析】将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|=.答案：7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.【解析】由消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为.所以kOP==.答案：8.(2015·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，所以直线m的斜率k=±.10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.Δ=24k2+16>0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|===.又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，所以△AMN的面积为|MN|·d=.由=，解得k=±1.(20分钟　40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为　(　　)A.2   B.2    C.8   D.2【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，所以+=1，可得m=2.2.(2015·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是　(　　)A.        B.C.        D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为　(　　)A.    B.   C.   D.【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=·=·=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，整理，得≤1，解得m≥1.又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，综上m的取值范围为m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠54.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，由Δ>0，得-<b<，故-<x<.答案：x+4y=0(-<x<)【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)A.9x-y-4=0       B.9x+y-5=0C.2x+y-2=0       D.2x-y+2=0【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1　(1)+=1　(2)由(1)(2)相减得：+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由题知x1≠x2，所以=-9，则直线AB的方程y-=-9，整理得9x+y-5=0.三、解答题(每小题10分，共20分)5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得因为P在圆上，所以x2+=25，即C的方程为+=1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，即x2-3x-8=0.Δ=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段AB的长度为|AB|=====.6.(2014·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2，b=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=.由d<1得|m|<.　(*)所以|CD|=2=2=.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2-mx+m2-3=0，由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.所以|AB|==.由=得=1，解得m=±，满足(*)，所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.  关闭Word文档返回原板块